Problem P. 5476. (March 2023)

P. 5476. Three alike metal plates of area \(\displaystyle A\) are placed parallel to each other. The distance between the plates is small compared to the size of the plates.

\(\displaystyle a)\) What is the electric field strength between the plates if the charge of the plate on the left is \(\displaystyle +Q\), the charge of the middle plate is \(\displaystyle +2Q\) and that of the right plate is \(\displaystyle +3Q\)?

\(\displaystyle b)\) What is the electric field strength between the plates if the charge of the plate on the left is \(\displaystyle +Q\), the charge of the middle plate is \(\displaystyle -2Q\) and that of the right plate is \(\displaystyle +3Q\)?

(4 pont)

Deadline expired on April 17, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során a széleffektusoktól mindig eltekintünk. Ismeretes (a Gauss-tétel alapján belátható), hogy amennyiben két párhuzamos, egymáshoz közel fekvő, sík fémlemez egyikének \(\displaystyle +Q\), másikának \(\displaystyle -Q\) töltést adunk, akkor az ellentétes előjelű töltések a lemezek belső oldalán helyezkednek el, és a lemezek közötti térben \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{A}\) nagyságú, homogén, a lemezekre merőleges irányú elektromos teret eredményeznek, ahol \(\displaystyle \varepsilon_0=\frac{1}{4\pi k}\) a vákuum dielektromos állandója (permittivitása), \(\displaystyle A\) a lemezek területe, továbbá \(\displaystyle k\) a Coulomb-törvényben szereplő állandó.

A megoldásban kihasználjuk, hogy elektrosztatikus esetben a fémek belsejében a térerősség nulla, így a lemezek szemben lévő belső felületein ugyanakkora nagyságú pozitív és ugyanakkora negatív töltéseknek kell egymással ,,szembenézniük''. Ha összetoljuk a lemezeket, akkor a belső felületeken lévő töltések kioltják egymást, és csak a külső felületeken marad töltés, mindkét oldalon ugyanannyi, mégpedig a rendszer teljes eredő töltésének fele-fele. Ha újra széthúzzuk a lemezeket, akkor a belső felületeken nem marad töltés, viszont amennyiben a belső felületekre \(\displaystyle +q\) és \(\displaystyle -q\) töltéseket helyezünk, akkor ez nem befolyásolja a külső felületeken lévő töltéseket.

A fentiek alapján már gyorsan eljuthatunk a megoldásig. Az \(\displaystyle a)\) esetben az össztöltés \(\displaystyle Q+2Q+3Q=6Q\), vagyis a két szélső lemez mindegyikének külső oldalán \(\displaystyle +3Q\) töltés helyezkedik el. Ha a \(\displaystyle +Q\) töltést a bal oldali lemezre juttattuk, és a rendszert összerakva ennek külső oldalára \(\displaystyle +3Q\) töltés kerül, akkor a lemez belső oldalának \(\displaystyle -2Q\) töltésűnek kell lenni. Eszerint a középső lemez bal oldalára \(\displaystyle +2Q\) jut, és a bal oldali térrészben a térerősség balra mutat, nagysága pedig \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{2Q}{A}\). A középső lemez jobb oldálára ezek után már nem jut töltés, ott a térerősség 0. Ez egybevág azzal, hogy a jobb oldali lemez \(\displaystyle 3Q\) töltése teljes mértékben a külső felületre kerül.

A \(\displaystyle b)\) esetben az össztöltés \(\displaystyle Q-2Q+3Q=2Q\), vagyis a két szélső lemez mindegyikének külső oldalán \(\displaystyle +Q\) töltés helyezkedik el. Ilyenkor a bal oldali lemez belső felületére nem jut töltés, a bal oldali térrészben lesz a térerősség 0. A középső lemez teljes \(\displaystyle -2Q\) töltése a jobb oldalára kerül, és így a jobb oldali térrészben \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{2Q}{A}\) nagyságú térerősség lesz, ami az \(\displaystyle a)\) esettel megegyezően balra mutat.

Megállapíthatjuk tehát, hogy az \(\displaystyle a)\) és a \(\displaystyle b)\) esetben a lemezek közötti térrészekben a térerősség szinte ugyanolyan lesz, a különbség csak annyi, hogy az \(\displaystyle a)\) esetben a bal oldali térrészben lesz elektromos mező, a jobb oldaliban nem, míg a \(\displaystyle b)\) esetben csak a jobb oldaliban lesz elektromos tér (nagyság és irány szerint ugyanakkora, mint az \(\displaystyle a)\) esetben). A két eset között a külső térben van különbség, mert az \(\displaystyle a)\) esetben a lemezeken kívüli tér háromszor akkora, mint a \(\displaystyle b)\) esetben.

Megjegyzés: A feladatot a szuperpozíciós elv és a töltésmegmaradás segítségével is megoldhatjuk. Egy \(\displaystyle Q/A\) felületi töltéssűrűségű síklap mindkét oldalán \(\displaystyle E=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{2A}\) nagyságú és ellentétes irányú a térerősség. Az egyes síkokon lévő töltések által keltett elektromos tereknek úgy kell szuperponálódniuk, hogy a fémlemezek belsejében nulla térerősséget eredményezzenek.

Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:	Barna Márton, Bogdán Benedek, Csiszár András, Csornai-Metz Mátyás , Dercsényi Bence, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Halász Henrik, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Papp Marcell Imre, Szabó Zsombor, Tatár Ágoston, Vincze Farkas Csongor, Waldhauser Miklós	(17 students).
3 points:	Beke Botond, Csernyik Péter, Dandé Márk Bence, Hegedűs Máté Miklós, Kis Márton Tamás	(5 students).
2 points:	6 students.
1 point:	4 students.
0 points:	1 student.
irregular:	5 scripts.

Problems in Physics of KöMaL, March 2023