Problem P. 5477. (March 2023)
P. 5477. An ideal battery of emf \(\displaystyle U=24\) V, resistors of resistance values \(\displaystyle R_1=500~\Omega\) and \(\displaystyle R_2=300~\Omega\), a switch and an ideal transformer were used to construct the circuit shown in the figure. The primary coil of the transformer has a number of turns of \(\displaystyle N_1=800\) and the secondary coil has \(\displaystyle N_2=1000\) turns. The switch, which had been open for a long time, was once closed. What were the values of the current in the primary and secondary coils immediately after the switch was closed?
(5 pont)
Deadline expired on April 17, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a vasmagban a mágneses fluxus \(\displaystyle \Phi\). (Ez a vasmag bármelyik keresztmetszeténél ugyanakkora, viszont időben változó mennyiség.) A hosszú ideje nyitott állású kapcsolónál a transzformátor egyik tekercsében sem folyik áram, így a fluxus nulla. Mivel hirtelen (,,pillanatszerűen'') nem változhat meg a fluxus, közvetlenül a kapcsoló zárása után is \(\displaystyle \Phi=0\).
Jelöljük a primer tekercs áramerősségét a kapcsoló zárását követő pillanatban \(\displaystyle I_1\)-gyel, a szekunder tekercsét \(\displaystyle I_2\)-vel. Az áramok által létrehozott mágneses fluxus a menetszámokkal arányos, így
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle N_1I_1-N_2I_2=0.\) |
(A második tag előjele, az áram irányításától és a tekercselés irányától függően pozitív is lehet.)
A kapcsoló zárása után a vasmag mágneses fluxusa időben változni kezd, a változás üteme kezdetben
\(\displaystyle \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=U_0.\)
A változó fluxus miatt a tekercsek minden menetében \(\displaystyle -U_0\) nagyságú feszültség indukálódik.
Írjuk fel a huroktörvényt a primer és a szekunder tekercs áramkörére:
| \(\displaystyle (2),\) | \(\displaystyle U-I_1R_1-N_1U_0=0,\) |
majd a szekunder körre is:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle I_2R_2-N_2U_0=0.\) |
Az (1)-(3) egyenletekből kiszámíthatjuk, hogy
\(\displaystyle I_1=U\dfrac{N_2^2}{N_2^2R_1+N_1^2R_2}=35\ \rm mA,\)
\(\displaystyle I_2=U\dfrac{N_1N_2}{N_2^2R_1+N_1^2R_2}=28\ \rm mA,\)
továbbá megkapjuk a menetenként indukálódó feszültséget is:
\(\displaystyle U_0=8{,}3\ \rm mV.\)
Statistics:
13 students sent a solution. 5 points: Klement Tamás, Molnár Zétény (2 students). 2 points: 2 students. 1 point: 3 students. 0 points: 5 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2023