Problem P. 5478. (March 2023)
P. 5478. A plano convex glass lens is bounded by water on its flat side and by air on its convex side.
\(\displaystyle a)\) What is the ratio of the two focal lengths corresponding to the two sides of the lens?
\(\displaystyle b)\) What will this ratio be if the two media at the sides of the lens are reversed?
The lens is thin and has a small aperture angle. The refractive index of glass is \(\displaystyle 3/2\) and that of water is \(\displaystyle 4/3\).
(5 pont)
Deadline expired on April 17, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vázlatosan ábrázoltuk a két elrendezést. A lencse domború oldalának görbületi sugarát jelöljük \(\displaystyle R\)-rel.
A feladatot kétféle módon is megoldjuk, egyszer a Snellius–Descartes-törvény alkalmazásával, majd pedig a Fermat-elv felhasználásával levezethető általánosított leképezési törvény segítségével.
I. megoldás.Tekintsük alaphelyzetnek azt, amikor a lencsét mindkét oldalról azonos közeg határolja, és vizsgáljuk meg, hogyan változnak a fókusztávolságok, ha a sík oldal felőli közeget másmilyenre cseréljük!
\(\displaystyle a)\) Amikor a lencse mindkét oldalán levegő van, az \(\displaystyle F_{\rm a,1}\) és \(\displaystyle F_{\rm a,2}\) fókuszpontok szimmetrikusan, a lencsétől \(\displaystyle f_{\rm a}\) távolságra helyezkednek el. Ha a sík felület felőli térrészt vízzel töltjük ki, a domború oldal felőli fókuszpont pozíciója nem változik, mert a sík felőli oldalról a tengellyel párhuzamosan érkező sugarak törés nélkül lépnek be az üvegbe, következésképp kilépéskor ugyanolyan szögben törnek meg, akár levegő, akár víz van a belépő (sík) oldalon.
1. ábra
A domború oldal felől a tengellyel párhuzamosan érkező sugarak útja a lencsében független a sík oldal felőli határoló közegtől, csak a kilépés szöge függ attól (1. ábra). A vákuumra (levegőre) vonatkoztatott törésmutatókat értelemszerűen \(\displaystyle n_{\rm ü}\)-vel és \(\displaystyle n_{\rm v}\)-vel jelölve, és kihasználva, hogy az üveg vízre vonatkoztatott törésmutatója \(\displaystyle n_{\rm üveg}/n_{\rm víz}\), a 2. ábrán jelölt szögekre (amelyek elég kicsinyek ahhoz, hogy az \(\displaystyle x\approx \sin x\approx \tg x\) közelítést alkalmazzuk), az
\(\displaystyle \frac{\alpha}{\gamma}=n_{\rm üveg},\qquad\textrm{illetve}\qquad\frac{\beta}{\gamma}=\frac{n_{\rm üveg}}{n_{\rm víz}} \)
összefüggéseket írhatjuk fel.
2. ábra
Ennek megfelelően a vízben az \(\displaystyle F_{\rm{a,2}}^{\prime}\) fókuszpont, ahogy azt az ábráról leolvashatjuk, a lencsétől
\(\displaystyle f_a^{\prime}=\frac{\alpha}{\beta}f_a \)
távolságra kerül, azaz
\(\displaystyle \frac{f_a^{\prime}}{f_a}=\frac{\alpha}{\beta}=n_{\rm víz}=\frac43. \)
\(\displaystyle b)\) Ez a kérdés analóg az \(\displaystyle a)\) kérdéssel, ha alaphelyzetnek azt tekintjük, amikor a lencsét mindkét oldalról víz határolja, és ehhez viszonyítva vizsgáljuk azt az esetet, amikor a sík oldal felől levegő van. A jelöléseket a 3. ábra magyarázza: \(\displaystyle F_{b,1}\) és \(\displaystyle F_{b,2}\) a fókuszpontok a feltételezett alaphelyzetben, \(\displaystyle f_b\) a távolságuk a lencsétől, \(\displaystyle F_{b,2}^{\prime}\) és \(\displaystyle f_b^{\prime}\) pedig a sík oldal felőli fókuszpont és fókusztávolság a kérdéses helyzetben.
3. ábra
Az előző gondolatmenetet megismételve
\(\displaystyle \frac{\delta}{\varepsilon}=\frac{1}{n_{\rm víz}} \)
adódik, ahonnan
\(\displaystyle \frac{f_{b}^{\prime}}{f_{b}}=\frac{1}{n_{\rm víz}}=\frac34. \)
Megjegyzés. Megállapítható, hogy mindkét esetben azon az oldalon, ahol a víz van, a fókusztávolság \(\displaystyle n_{\rm víz}\)-szer nagyobb, mint a másikon. Ugyanakkor az nem igaz, hogy a vízes és a levegős oldalak felcserélésével a két fókusztávolság egyszerűen helyet cserélne, ugyanis a sík-domború vékony lencsékre vonatkozó képlet alapján (ha a domború oldal sugara \(\displaystyle R\)), akkor
\(\displaystyle f_{\rm a}=\frac{R}{(n_{\rm üveg}-1)}, \qquad\textrm{így}\qquad f_{\rm a}^{\prime}=\frac{n_{\rm víz}R}{(n_{\rm üveg}-1)}, \)
míg
\(\displaystyle f_{\rm b}=\frac{n_{\rm víz}R}{(n_{\rm üveg}-n_{\rm víz})}, \qquad\textrm{tehát}\qquad f_{\rm b}^{\prime}=\frac{R}{(n_{\rm üveg}-n_{\rm víz})}. \)
II. megoldás. Tekintsük a vékony lencsék leképezési törvényét abban az általános esetben, amikor a lencse \(\displaystyle R_1\) görbületi sugarú oldalán (mondjuk a bal oldalon) \(\displaystyle n_1\) törésmutatójú közeg, a másik, \(\displaystyle R_2\) görbületi sugarú (jobb) oldalán pedig \(\displaystyle n_2\) törésmutatójú közeg található, és a lencse anyagának törésmutatója \(\displaystyle n\). A lencse bal oldalán, a lencsétől \(\displaystyle t\) távolságra egy tárgy található, a másik oldalon pedig \(\displaystyle k\) távolságra keletkezik a tárgy képe (4. ábra).
4. ábra
A Fermat-elv alkalmazásával (lásd Woynarovich Ferenc: A Fermat-elv egy alkalmazása c. cikkét a KöMaL honlapján, https://www.komal.hu/cikkek/cikklista.h.shtml) viszonylag könnyen megkaphatjuk, hogy fennáll:
| \(\displaystyle (*)\) | \(\displaystyle \frac{n_1}{t}+\frac{n_2}{k}=\frac{n-n_1}{R_1}+\frac{n-n_2}{R_2}.\) |
Ebből az összefüggésből (a megfelelő törésmutatók és görbületi sugarak behelyettesítése után) meghatározhatjuk mind a négy esetben a fókusztávolságot. A sík görbületi sugarát és a párhuzamosan érkező (illetve távozó) fénysugarak tárgy-, illetve képtávolságát ,,végtelen nagynak'' tekintjük, és ezek reciproka helyére nullát írunk.
\(\displaystyle a)\) Legyen a lencse sík oldalán víz, a domború oldalán levegő. Ekkor \(\displaystyle n_1=1\) és \(\displaystyle n_2=n_{\rm víz}=\tfrac43\), \(\displaystyle n=n_{\rm üveg }=\tfrac32\), továbbá \(\displaystyle R_1=R\) és \(\displaystyle R_2=\infty\). Ha a jobbra haladó fény párhuzamos nyalábban hagyja el a lencsét, akkor \(\displaystyle k=\infty\), \(\displaystyle t=f_a\), és így \(\displaystyle (*)\) alapján
\(\displaystyle \frac1{f_a}=\frac{(3/2)-1}{R},\)
azaz a levegő oldalán a fókusztávolság
\(\displaystyle f_a=2R.\)
Ha viszont \(\displaystyle t=\infty\) és \(\displaystyle k=f_a',\) akkor
\(\displaystyle \frac{4/3}{f_a'}=\frac{(3/2)-1}{R},\)
tehát a víz felöli oldalon a fókusztávolság
\(\displaystyle f_a'=\frac{8}{3} R.\)
Látjuk, hogy \(\displaystyle \frac{f_a'}{f_a}=\frac43.\)
\(\displaystyle b)\) A határoló közegeket felcserélve \(\displaystyle n_1=\tfrac43\) és \(\displaystyle n_2=1\) törésmutatókkal kell számoljunk. Most a víz oldalán a fókusztávolság \(\displaystyle f_b=8R\), a levegő oldalán pedig \(\displaystyle f_b'=6R\), az arányuk tehát \(\displaystyle \frac{f_b'}{f_b}=\frac34.\)
Statistics:
19 students sent a solution. 5 points: Dercsényi Bence, Fehérvári Donát, Halász Henrik, Szabó Zsombor, Waldhauser Miklós (5 students). 4 points: Bencz Benedek, Klement Tamás, Molnár Kristóf (3 students). 3 points: 4 students. 2 points: 2 students. 1 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2023