A P. 5479. feladat (2023. március)

P. 5479. A klasszikus elektronmodell szerint az elektron egy olyan egyenletesen feltöltött szigetelő gömbhéj, amelynek elektrosztatikus energiája az elektron \(\displaystyle mc^2\) nyugalmi energiájával egyezik meg.

Mekkora mozgási energiával kellene egy elektront egy másik, kezdetben álló elektronnak ütköztetni, hogy ,,összeérjenek'' egymással, ha a klasszikus mechanika törvényeit alkalmazzuk?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle e\) töltésű gömb elektrosztatikus energiája (a gömbkondenzátor energiájához hasonlóan)

\(\displaystyle E=\frac{ke^2}{2r}.\)

Ez akkor egyezne meg az elektron nyugalmi energiájával, ha

\(\displaystyle r=\dfrac{ke^2}{2mc^2}=1{,}4\cdot10^{-15}\ \rm m\)

lenne.

Legyen a feltételezett kísérletben az egyik elektron sebessége \(\displaystyle v\), mozgási energiája tehát \(\displaystyle E_\text{m}=mv^2/2\).

Írjuk le az ütközést a két elektron tömegközépponti koordináta-rendszeréből. Itt mindkét elektron \(\displaystyle v/2\) kezdősebességgel mozog, és amikor megállnak, a középpontjuk távolsága \(\displaystyle 2r\) lesz. A munkatétel szerint

\(\displaystyle 2\cdot \dfrac{m(v/2)^2}{2}=\frac{ke^2}{2r}=mc^2,\)

vagyis

\(\displaystyle v=2c \qquad \text{és így}\qquad E_\text{m}=2mc^2.\)

A relativisztikus dinamika és elektrodinamika törvényeit alkalmazva azt kapnánk, hogy a szükséges sebesség nagysága a fénysebességhez közeli érték (de természetesen annál kisebb), a mozgási energia pedig \(\displaystyle mc^2\) nagyságrendű lenne.

Megjegyzések. 1. A számolás eredménye azt mutatja, hogy még akkor is, ha a klasszikus elektronmodell jó közelítése lenne a valóságnak (de nem az!), a nemrelativisztikus képletek alakalmazása indokolatlan.

2. Ha a kísérletet a 20. század elején (amikor a klasszikus elektronmodellt kidolgozták) a Rutherford-kísérlet mintájára megfelelő gyorsítóberendezéssel el tudták volna végezni, igen meglepő eredményt kaptak volna. Ahelyett, hogy az elektronok rugalmas szóródási képe megadta volna az elektron ,,sugarát'', a fizikusok azt tapasztalták volna, hogy az elektronok ütközésekor egy új részecske (pozitron) jelenik meg, mintegy ,,születik'' az ütközés során.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csilling Dániel, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Nemeskéri Dániel, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Nagy 456 Imre.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai