Problem P. 5479. (March 2023)
P. 5479. According to the classical electron model, the electron is a uniformly charged insulating spherical shell whose electrostatic energy is equal to the rest energy of the electron \(\displaystyle mc^2\). Using the laws of classical mechanics, determine the kinetic energy that should be given to the electron if it is to collide with another initially stationary electron such that they ``touch'' each other?
(5 pont)
Deadline expired on April 17, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Egy \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle e\) töltésű gömb elektrosztatikus energiája (a gömbkondenzátor energiájához hasonlóan)
\(\displaystyle E=\frac{ke^2}{2r}.\)
Ez akkor egyezne meg az elektron nyugalmi energiájával, ha
\(\displaystyle r=\dfrac{ke^2}{2mc^2}=1{,}4\cdot10^{-15}\ \rm m\)
lenne.
Legyen a feltételezett kísérletben az egyik elektron sebessége \(\displaystyle v\), mozgási energiája tehát \(\displaystyle E_\text{m}=mv^2/2\).
Írjuk le az ütközést a két elektron tömegközépponti koordináta-rendszeréből. Itt mindkét elektron \(\displaystyle v/2\) kezdősebességgel mozog, és amikor megállnak, a középpontjuk távolsága \(\displaystyle 2r\) lesz. A munkatétel szerint
\(\displaystyle 2\cdot \dfrac{m(v/2)^2}{2}=\frac{ke^2}{2r}=mc^2,\)
vagyis
\(\displaystyle v=2c \qquad \text{és így}\qquad E_\text{m}=2mc^2.\)
A relativisztikus dinamika és elektrodinamika törvényeit alkalmazva azt kapnánk, hogy a szükséges sebesség nagysága a fénysebességhez közeli érték (de természetesen annál kisebb), a mozgási energia pedig \(\displaystyle mc^2\) nagyságrendű lenne.
Megjegyzések. 1. A számolás eredménye azt mutatja, hogy még akkor is, ha a klasszikus elektronmodell jó közelítése lenne a valóságnak (de nem az!), a nemrelativisztikus képletek alakalmazása indokolatlan.
2. Ha a kísérletet a 20. század elején (amikor a klasszikus elektronmodellt kidolgozták) a Rutherford-kísérlet mintájára megfelelő gyorsítóberendezéssel el tudták volna végezni, igen meglepő eredményt kaptak volna. Ahelyett, hogy az elektronok rugalmas szóródási képe megadta volna az elektron ,,sugarát'', a fizikusok azt tapasztalták volna, hogy az elektronok ütközésekor egy új részecske (pozitron) jelenik meg, mintegy ,,születik'' az ütközés során.
Statistics:
18 students sent a solution. 5 points: Csilling Dániel, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Nemeskéri Dániel, Waldhauser Miklós (6 students). 4 points: Nagy 456 Imre (1 student). 2 points: 1 student. 1 point: 5 students. 0 points: 5 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2023