Problem P. 5481. (April 2023)
P. 5481. A vehicle starts from rest and accelerates uniformly. Point \(\displaystyle P\), one of the outermost point on the rim of the vehicle wheel, is initially at its furthest position from the ground. By what factor does the acceleration of point \(\displaystyle P\) increase after \(\displaystyle n\) turns of the wheel?
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a jármű gyorsulását \(\displaystyle a_0\)-lal, a kerekének sugarát \(\displaystyle R\)-rel. Ha bizonyos \(\displaystyle t\) idő alatt a kerék \(\displaystyle n\)-et fordul, az autó \(\displaystyle 2\pi nR\) utat tesz meg, fennáll tehát, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{a_0}{2}t^2=2\pi nR. \) |
A \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle n\) fordulat után ismét a talajtól legtávolabbi helyzetébe kerül, így az \(\displaystyle \boldsymbol a\) gyorsulása a vízszintes irányú \(\displaystyle a_1\) tangenciális és a függőleges irányú \(\displaystyle a_2\) centripetális gyorsulás vektori eredője, nagysága
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}. \) |
A kerék szöggyorsulása \(\displaystyle \beta=\frac{a_0}{R}\), a kerék tengelyének gyorsulása \(\displaystyle a_0\), az eredő vízszintes irányú gyorsulás tehát
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle a_1=a_0+R\beta=2a_0. \) |
(Ezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy észrevesszük: a kerék a talajjal érintkező pontja körül is \(\displaystyle \beta\) szöggyorsulással forog, a talajtól éppen \(\displaystyle 2R\) távol lévő \(\displaystyle P\) pont tangenciális gyorsulása tehát \(\displaystyle a_1=2R\cdot \beta=2a_0\).)
A függőleges irányú centripetális gyorsulás a kerék pillanatnyi szögsebességéből számolható ki:
\(\displaystyle \omega= \beta\,t=\frac{a_0}{R}t,\)
tehát
\(\displaystyle a_2=R\omega^2=\frac{a_0^2}{R}t^2.\)
Mivel (1) szerint \(\displaystyle t^2=4\pi nR/a_0,\) kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle a_2=4\pi n a_0.\) |
(3) és (4)-et (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle a=2a_0\sqrt{1+(2\pi n)^2}.\)
A \(\displaystyle P\) pont gyorsulása induláskor \(\displaystyle 2a_0\), így a kérdéses növekedési faktor:
\(\displaystyle \frac{a}{2a_0}=\sqrt{1+(2\pi n)^2}.\)
(A megoldás során feltételeztük, hogy \(\displaystyle n\) egész szám. )
Statistics:
35 students sent a solution. 4 points: Beke Bálint, Csilling Dániel, Csiszár András, Dancsák Dénes, Farkas Dorka Hanna, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Molnár Kristóf, Waldhauser Miklós. 3 points: Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csornai-Metz Mátyás , Éliás Kristóf , Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fülöp Benjámin, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő. 2 points: 5 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, April 2023