Problem P. 5482. (April 2023)

P. 5482. The thread of a simple pendulum of length \(\displaystyle L\) is stretched horizontally and then released. When the thread of the pendulum becomes vertical, the pendulum bob collides perfectly elastically with another small body, which has the same mass as the pendulum bob, and which is initially on the edge of a table. After the collision, the body on the edge of the table is projected horizontally, i.e. it will move in a parabolic path. Where is the focus and the directrix of this parabola?

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Ismeretes, hogy a parabola csúcsponti (kanonikus) egyenletét a \(\displaystyle p\) paraméter segítségével így adhatjuk meg:

\(\displaystyle y=\frac{1}{2p}x^2,\)

ahol a \(\displaystyle p\) paraméter a fókusz és a vezéregyenes közötti távolságot jelenti. Mivel az \(\displaystyle f\) fókusztávolság a \(\displaystyle p\) paraméter fele, vagyis \(\displaystyle p=2f\), a parabola egyenlete így is megadható:

\(\displaystyle y=\frac{1}{4f}x^2.\)

Az is jól ismert, hogy \(\displaystyle v_0\) kezdősebességű, vízszintes hajításkor a pálya egyenlete

\(\displaystyle y=\frac{g}{2v_0^2}x^2.\)

A feladatban a vízszintes hajítást végző test kezdősebességének a négyzete \(\displaystyle v_0^2=2gL\), így a parabola egyenlete a következő alakra hozható:

\(\displaystyle y=\frac{1}{4L}x^2,\)

amit ha összevetünk a parabola geometriájára vonatkozó egyenletekkel, azt látjuk, hogy \(\displaystyle f=L\), illetve \(\displaystyle p=2L\). Ebből megállapíthatjuk, hogy a fókusz az ütközési pont alatt van \(\displaystyle L\) távolságra, a vezéregyenes pedig a fonál kezdeti vízszintes egyenese.

Megjegyzés: Észrevehetjük, hogy bármilyen vízszintes hajítás parabolapályájának vezéregyenese a csúcsponttól mérve olyan magasságban van, mint amilyen magasra repül a vízszintes hajítás kezdősebességével függőlegesen felfelé eldobott test.

II. megoldás. Az asztal szélén lévő test akkora vízszintes sebességet kap, mintha \(\displaystyle L\) magasságból szabadon esne. Ezt a vízszintes sebességét mindaddig megőrzi, amíg vízszintes hajítást végezve parabolapályán mozog. Tegyük fel, hogy az asztal is \(\displaystyle L\) magasságú. Amikor a test eléri a talajt, függőleges sebesség-összetevője is ugyanekkora lesz, hiszen függőlegesen ekkor is \(\displaystyle L\) magasságból esik. Ez azt jelenti, hogy a test \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben csapódik a talajba, tehát parabolapályájának érintője \(\displaystyle 45^\circ\)-os ebben a pontban.

Ha a pálya paraboláját tükörnek tekintjük, melyre alulról függőleges fénysugár esik, akkor ebbe a pontba érkező fénysugár a \(\displaystyle 45^\circ\)-os szög miatt vízszintesen halad tovább a fókuszpont felé. Vagyis a parabola fókusza a talaj szintjén, a parabola csúcspontja alatt \(\displaystyle L\) távolságra van. Ebből már következik, hogy a vezéregyenes a parabola csúcspontja felett \(\displaystyle L\) távolságra, vízszintesen halad.

Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Bodré Zalán, Boér Panna Rita, Chrobák Gergő, Csiszár András, Csóka Péter, Csornai-Metz Mátyás , Dancsák Dénes, Fajszi Karsa, Farkas Dorka Hanna, Halász Henrik, Harkai Barnabás, Katona Attila Zoltán, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Lévai Dominik Márk, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Papp Marcell Imre, Tomesz László Gergő, Waldhauser Miklós.
4 points:	Benes András, Csilling Dániel, Dercsényi Bence, Fehérvári Donát, Halász Sámuel, Kátai Ferdinánd, Kovács Kristóf , Márfai Dóra, Molnár Zétény, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Saller Bálint , Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Wodala Gréta Klára.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, April 2023