Problem P. 5484. (April 2023)
P. 5484. A sample of diatomic gas is taken through the cyclic process which is a circle in the \(\displaystyle p\)–\(\displaystyle V\) diagram, when appropriate units are used, and is shown in the figure.
Using numerical methods, determine the efficiency of the heat engine which executes the above cyclic process.
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Válasszuk a nyomás egységének a \(\displaystyle 10^4\) Pa értéket, a térfogategység pedig legyen a dm\(\displaystyle ^3\). Ebben az egységrendszerben a munka és a hő egysége 10 J, a kör sugara pedig éppen 1 egység lesz.
Számítógépen (pl. a Geogebra program segítségével) ábrázoljuk a
\(\displaystyle (p-2)^2+(V-2)^2=1\)
egyenletű kört, valamint a
\(\displaystyle pV^{7/5}=K=\text{állandó}\)
egyenletű adiabatikus görbéket. A \(\displaystyle K\) paraméter értékét változtatva (ezt a program ,,csúszka'' eszközével tehetjük meg) megkereshetjük azt a két adiabatát, amelyik (felülről vagy alulról) érinti a kört (lásd az 1. ábrát).
1. ábra
A körfolyamat hatásfokának kiszámításához szükségünk van a felvett hő nagyságára, valamint a gáz által egy-egy ciklusban végzett munkára. Ez utóbbi a kör területe:
\(\displaystyle W'=3{,}14.\)
Hőfelvétel az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) állapotok között történik, ezen az íven egyre nagyobb \(\displaystyle K\) értékekhez tartozó adiabatákat metsz el a kör. Az ábráról (annak kinagyított változatáról) leolvashatjuk az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont koordinátáit, és ezekből kiszámíthatjuk az ábrán jelölt szögeket:
\(\displaystyle \alpha=\arctg \frac{2{,}00-1{,}54}{2{,}00-1{,}11}=27{,}3^\circ=0{,}48\ \rm rad,\)
illetve
\(\displaystyle \beta=\arctg \frac{ 0{,}79}{ 0{,}61}=52{,}3^\circ =0{,}91\ \rm rad.\)
A folyamat során a gáz által felvett hő az I. főtétel szerint
\(\displaystyle Q_\text{fel}=W'(A\rightarrow B)+\Delta E,\)
ahol
\(\displaystyle \Delta E=E_B-E_A=\frac52\left(p_BV_B-p_AV_A\right)=18{,}2-4{,}3=13{,}9\)
a kétatomos gáz belső energiájának megváltozása (\(\displaystyle 10^4\ {\rm Pa}\cdot 1\ {\rm dm}^3=10\ \rm J\) egységekben mérve).
Hátra van még a \(\displaystyle W'(A\rightarrow B)\) munkavégzés kiszámítása. Ez a \(\displaystyle p-V\) diagramon az állapotváltozást leíró görbe (esetünkben körív) alatti, előjelesen értendő terület (növekvő térfogat esetén pozitív, csökkenőnél negatív az előjele).
2. ábra
A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy mindkét terület egy téglalap, egy körcikk és egy derékszögű háromszög területének összege/különbsége:
\(\displaystyle T_1=2(1-\cos\alpha)-\frac12 \alpha+\frac12\sin\alpha\,\cos\alpha=0{,}2,\)
illetve
\(\displaystyle T_2=2(1+\sin\beta)+\frac12 \left(\frac\pi2+\beta\right)+\frac12\sin\beta\,\cos\beta =5{,}1.\)
A teljes munkavégzés a hőfelvétel alatt
\(\displaystyle W'(A\rightarrow B)=T_2-T_1=4{,}9,\)
a felvett hő pedig
\(\displaystyle Q_\text{fel}=4{,}9+13{,}9=18{,}8.\)
A ,,kör alakú'' körfolyamatot végző hőerőgép termikus hatásfoka tehát
\(\displaystyle \eta=\frac{W'}{Q_\text{fel}}=\frac{3{,}14}{18{,}8}=0{,}167\approx 17\%.\)
II. megoldás. A körfolyamat mentén vegyünk fel egyenletesen \(\displaystyle N\) darab pontot. Ekkor az előző megoldásban szereplő egységeket használva az \(\displaystyle i\). ponthoz tartozó nyomás és térfogat értékek:
\(\displaystyle p_i=2-\sin{\left(2\pi\frac{i}{N}\right)},\)
\(\displaystyle V_i=2+\cos{\left(2\pi\frac{i}{N}\right)},\)
ahol \(\displaystyle i\) egész szám, mely 1-től \(\displaystyle N\)-ig vehet fel értékeket.
Tekintsük a körfolyamat egy kis körív alakú szakaszát, melyet az \(\displaystyle i+1\). és \(\displaystyle i\). pont határol. Ezen a szakaszon az energia megváltozása
\(\displaystyle \Delta E_i = \frac{5}{2}\left(p_{i+1}V_{i+1}-p_iV_i\right).\)
Amennyiben \(\displaystyle N\) kellően nagy, akkor ezen kicsiny folyamat során a gázon végzett munka jól közelíthető egy trapéz területével. Azaz az \(\displaystyle i\). és \(\displaystyle i+1\). pontot egy egyenessel kötjük össze a görbe vonal helyett:
\(\displaystyle W_i=-\frac{p_i+p_{i+1}}{2}\left(V_{i+1}-V_{i}\right).\)
A kicsiny folyamat során a rendszerrel közölt hő mennyisége az I. főtétel alapján:
\(\displaystyle Q_i=\Delta E_i + W_i.\)
Ha ez az érték pozitív, akkor hőfelvétel, ha negatív, akkor hőleadás történik.
Akár egy Excel táblázat segítségével kiszámolhatjuk az összes kicsiny folyamatra a felvett (és negatív előjellel a leadott) hőmennyiségeket, melyek közül a pozitívakat kell összegeznünk, hogy a körfolyamat egésze során felvett hőt meghatározzuk. A számolás során figyelni kell, hogy a ciklikusság miatt az \(\displaystyle (N+1)\)-edik és az első pont megegyezik. \(\displaystyle N=10\) esetében \(\displaystyle Q_\textrm{fel}=18{,}7\), növelve az \(\displaystyle N\) értékét \(\displaystyle N=50\) esetében \(\displaystyle Q_\textrm{fel}=18{,}8\), még tovább növelve \(\displaystyle N=100\) esetében (három jegy pontossággal) az eredmény ugyanannyi: \(\displaystyle Q_\textrm{fel}=18{,}8\). Látható, hogy a felbontás finomításával hamar konvergál az érték.
A felvett hő meghatározása után az előző megoldás alapján számolhatjuk a hatásfokot.
Statistics:
15 students sent a solution. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students. 0 point: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2023