Problem P. 5485. (April 2023)

P. 5485. The vertices of a regular pentagon are connected along the sides by wires which have the same resistance, as shown in the figure. In another regular pentagon, we place wires along the diagonals to form a five-pointed star. (The wires are insulated and there are electrical joints only at the vertices of the pentagon.)

The equivalent resistances measured between adjacent vertices of the two pentagons (\(\displaystyle R_{AB}\) and \(\displaystyle R_{PQ}\)) are the same in the two connections. In which circuit will the equivalent resistance between the vertices of a diagonal (\(\displaystyle R_{AC}\) or \(\displaystyle R_{PR}\)) be greater, and by what factor?

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első esetben az ötszög oldalaira helyezett ellenállásokat jelöljük \(\displaystyle R_\textrm{o}\)-val, a másodikban az átlókat alkotó huzalok ellenállása legyen \(\displaystyle R_\textrm{á}\)! Ezekkel

\(\displaystyle R_{AB}=\left(\frac{1}{R_\textrm{o}}+\frac{1}{4R_\textrm{o}}\right)^{-1}=\frac{4}{5}R_\textrm{o}, \)

illetve

\(\displaystyle R_{PQ}=\left(\frac{1}{2R_\textrm{á}}+\frac{1}{3R_\textrm{á}}\right)^{-1}=\frac{6}{5}R_\textrm{á}. \)

Ha ez a két érték egyenlő, akkor

\(\displaystyle R_\textrm{o}=\frac{3}{2}R_\textrm{á}. \)

Ugyanakkor

\(\displaystyle R_{AC}=\left(\frac{1}{2R_\textrm{o}}+\frac{1}{3R_\textrm{o}}\right)^{-1}=\frac{6}{5}R_\textrm{o}, \)

és

\(\displaystyle R_{PR}=\left(\frac{1}{R_\textrm{á}}+\frac{1}{4R_\textrm{á}}\right)^{-1}=\frac{4}{5}R_\textrm{á}. \)

Innen

\(\displaystyle R_{AC}=\frac{9}{4}R_{PR}. \)

Megjegyzés. A \(\displaystyle PQRST\) csillag nem csupán egy ötszög átlói által alkotott idom, hanem maga is egy ügyesen ,,összehajtogatott" ötszög. Ennek a csúcsai sorban \(\displaystyle PRTQS\). Ez magyarázza, hogy az első-szomszéd és másod-szomszéd csúcsok között mérhető ellenállások aránya a két alakzatnál pont egymás reciproka.

Statistics:

42 students sent a solution.
4 points:	Bocor Gergely, Bodré Zalán, Boér Panna Rita, Bottyán Márton Péter, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Dercsényi Bence, Éger Viktória, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Gerendás Roland, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Kátai Ferdinánd, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Lengyel Szabolcs, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szécsényi-Nagy Rudolf, Tomesz László Gergő, Vásárhelyi István Péter.
3 points:	Beke Bálint, Bogdán Benedek, Csiszár András, Fajszi Karsa, Molnár Zétény, Papp Marcell Imre, Waldhauser Miklós.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2023