Problem P. 5486. (April 2023)
P. 5486. The components of the circuit shown in the figure are ideal. Initially, one of the capacitors is charged to \(\displaystyle q_0\), and the other capacitor is uncharged.
\(\displaystyle a\)) What is the maximum current after closing switch K?
\(\displaystyle b\)) How long after closing the switch does the current first reach its maximum value?
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a\)) Először is megállapíthatjuk, hogy ha az egyik kondenzátor töltése \(\displaystyle q\), akkor a másiké \(\displaystyle q_0 – q\). Vegyük észre, hogy maximális áramerősség esetén a két kondenzátor együttes feszültsége nulla, mivel árammaximumkor az indukált feszültség nulla. A két kondenzátor együttes feszültsége akkor nulla, ha mindkettőnek \(\displaystyle q_0/2\) a töltése, mivel ilyenkor mindkettő feszültsége \(\displaystyle q_0/2C\), azonban ellentétes polaritással vannak kötve. Az energiamegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle \frac{1}{2} \frac{q_0^2}{C}=2\left( \frac{1}{2} \frac{\left( \frac{q_0}{2} \right)^2}{C}\right) + \frac{1}{2} LI_\textrm{max}^2 ,\)
amiből
\(\displaystyle I_\textrm{max}=\frac{q_0}{\sqrt{2LC}}.\)
\(\displaystyle b\)) Az áram maximuma a bekapcsolás után negyedperiódussal jön létre, amikor mindkét (ellentétes polaritású) kondenzátor töltése \(\displaystyle q_0/2\). A sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása \(\displaystyle C^*=C/2\), így a rezgőkör periódusideje
\(\displaystyle T==2\pi \sqrt {LC^*} =2\pi \sqrt{\frac{LC}{2}}.\)
Az első árammaximum eléréséhez szükséges idő tehát
\(\displaystyle t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{4}\sqrt{2LC}.\)
Érdekességként vehetjük még észre azt is, hogy az energia a két kondenzátor között billeg úgy, hogy amikor a töltés fele-fele arányban oszlik meg, akkor a rendszer teljes energiájának a fele esik a tekercsre, negyede-negyede pedig a két kondenzátorra. Amikor tehát maximális áramerősség esetén a tekercs energiája maximális, akkor ez a rendszer teljes energiájának mindössze a fele.
Statistics:
7 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Halász Henrik, Klement Tamás, Papp Marcell Imre, Szabó Zsombor. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, April 2023