Problem P. 5487. (April 2023)

P. 5487. The flat surface of a half-cylinder glass of refractive index \(\displaystyle n\) is tin coated. The half-cylinder is illuminated horizontally with a laser beam as shown in the figure. At what value of \(\displaystyle \alpha\) will the emerging light beam be exactly vertical? What should the minimum value of \(\displaystyle n\) be for such a beam path to be possible?

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tükrözzük a félgömböt és a fénysugár útvonalát a foncsorozott felületre. Így egy teljes hengeren áthaladó, kétszer megtörő fénysugarat kapunk, amely a beesés irányához képest összesen \(\displaystyle 90^\circ\)-os szögben térül el.

Az ábráról leolvashatjuk, hogy a beesési szög és a törési szög különbsége \(\displaystyle 45^\circ\), vagyis

\(\displaystyle \beta=\alpha-45^\circ.\)

Másrészt a törési törvény szerint

\(\displaystyle \sin \beta =\frac{\sin \alpha}{n},\)

vagyis

\(\displaystyle \sin(\alpha-45^\circ)\equiv \frac1{\sqrt2}(\sin\alpha-\cos\alpha)=\frac{\sin \alpha}{n},\)

amiből

\(\displaystyle n=\frac{\sqrt2}{1-\ctg\alpha} \)

következik. Mivel \(\displaystyle \alpha\) hegyesszög (vagy legfeljebb derékszög), \(\displaystyle \ctg\alpha\ge 0\), és így \(\displaystyle n\ge\sqrt2\).

Statistics:

11 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Fehérvári Donát, Halász Henrik, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Zsombor, Waldhauser Miklós.
4 points:	Chrobák Gergő, Richlik Márton.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2023