Problem P. 5491. (May 2023)

P. 5491. A small body starting from rest at a given point in space can slide down along slopes of different angles of inclination. What is the locus of that points of the slopes, in space, at which the values of the dissipated heat due to friction are equal?

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. [ÍRTA: G. P.] Egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtőn lecsúszó \(\displaystyle m\) tömegű testre \(\displaystyle F=\mu mg\cos\alpha\) súrlódási erő hat, aminek hatására \(\displaystyle s\) hosszú útszakaszon

\(\displaystyle Q=Fs=\mu mgs\cos\alpha\)

hő fejlődik, vagyis adott \(\displaystyle Q,m,g\) és \(\displaystyle \mu\) mellett

\(\displaystyle R\equiv s\cos\alpha=\dfrac{Q}{\mu mg}=\text{állandó}.\)

Az ábráról is leolvasható, hogy a kérdéses pontok a \(\displaystyle P\) ponton átmenő függőleges egyenestől \(\displaystyle R\) távolságra helyezkednek el, vagyis egy \(\displaystyle R\) sugarú henger palástjára esnek.

A test csak akkor csúszik le a lejtőn, ha \(\displaystyle \tg\alpha>\mu,\) vagyis a lejtők alsó pontjai a \(\displaystyle P\)-re illeszkedő vízszintes sík alatt mélyebben vannak, mint

\(\displaystyle H=R\,\tg\alpha_\text{min}=R\mu=\dfrac{Q}{mg}.\)

Megjegyzés. A megoldás ekvivalens azzal a többé-kevésbé ismert állítással, hogy a lejtőn a súrlódási munka (felszabaduló hő) megegyezik azzal az értékkel, mintha a test vízszintesen, a lejtő alapja mentén mozogna.

Statistics:

32 students sent a solution.
4 points:	Csilling Dániel, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Vágó Botond.
3 points:	Bocor Gergely, Bodré Zalán, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Csiszár András, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Klement Tamás, Lévai Dominik Márk, Masa Barnabás, Szabó Zsombor, Waldhauser Miklós.
2 points:	7 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, May 2023