Problem P. 5493. (May 2023)

P. 5493. The James Webb space telescope orbits the Sun, near the so-called \(\displaystyle \mathrm{L}_2\) Lagrange point, synchronously with Earth. This point is located 1.5 million km from Earth along the Sun-Earth line, beyond the Earth, and is notable (along with the other Lagrange points) for the fact that bodies placed there ``more or less'' remain there ``at the same position'' as they move with the Earth. Show by a simple calculation that the \(\displaystyle \mathrm{L}_2\) Lagrange point is really that far from the Earth.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Közelítsük a Föld Nap körüli mozgását \(\displaystyle r\) = 150 millió km sugarú körpályával, továbbá a Föld és az L\(\displaystyle _2\) Lagrange-pont távolsága legyen \(\displaystyle h\). Ekkor az L\(\displaystyle _2\) Lagrange-pontba helyezett \(\displaystyle m\) tömegű testre a Nap és a Föld gravitációs ereje ugyanabba az irányba hat, és ezek szolgáltatják a körpályán tartáshoz szükséges erőt (a Hold hatását elhanyagoljuk):

\(\displaystyle \gamma\frac{mM_{\textrm{Nap}}}{(r+h)^2}+\gamma\frac{mM_{\textrm{Föld}}}{h^2}=m(r+h)\omega^2=m(r+h)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)

Az \(\displaystyle m\) tömeggel tudunk egyszerűsíteni:

\(\displaystyle \gamma\frac{M_{\textrm{Nap}}}{(r+h)^2}+\gamma\frac{M_{\textrm{Föld}}}{h^2}=(r+h)\omega^2=(r+h)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)

Ezek után a legegyszerűbb az, ha a fenti egyenlet bal és jobb oldalába is behelyettesítjük az ismert adatokat, beleértve a feltételezett \(\displaystyle h\) = 1,5 millió km-es távolságot is. A bal oldal esetén \(\displaystyle 5,96\,\cdot\,10^{-3}\) N/kg-ot kapunk, míg a jobb oldal \(\displaystyle 6,01\,\cdot\,10^{-3}\) N/kg-nak adódik. Az egyezés 1%-on belüli, tehát jó közelítssel igazoltuk az állítást.

II. megoldás. Mérjük a távolságokat CsE (Nap-föld távolság), a tömegeket naptömeg egységben, az időt pedig olyan egységben, hogy a gravitációs állandó is 1 legyen. A Föld tömege ilyen egységrendszerben \(\displaystyle \tfrac1{330\,000}\) lesz.

A Földre felírható mozgásegyenletből adódik, hogy a keringés szögsebessége: \(\displaystyle \omega=1\). A \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenlete, ha a Földtől \(\displaystyle x\) távolságban a Földdel együtt kerint ugyancsak \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel:

\(\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2}+\frac1{330\,000\ x^2}=1+x.\)

A Föld tömege a Naphoz képest nagyon kicsi, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle x\ll 1\), és ezért \(\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2}\approx 1-2x.\) Ekkor a mozgásegyenlet:

\(\displaystyle \frac1{330\,000\ x^2}=3x,\)

vagyis

\(\displaystyle x= \sqrt [3]{\frac1{3\cdot 330\,000 }}=0{,}01,\)

ami a szokásos SI egységekben valóban \(\displaystyle 1{,}5\ \text{millió km}.\)

Statistics:

38 students sent a solution.
4 points:	Beke Bálint, Bocor Gergely, Bodré Zalán, Csernyik Péter, Csilling Dániel, Fehérvári Donát, Halász Henrik, Klement Tamás, Lévai Dominik Márk, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tomesz László Gergő.
3 points:	Beke Botond, Bencz Benedek, Boér Panna Rita, Dancsák Dénes, Dercsényi Bence, Éger Viktória, Gerendás Roland, Hegedűs Máté Miklós, Kaszonyi Márk, Kis Márton Tamás, Kissebesi Máté, Lengyel Szabolcs, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Waldhauser Miklós.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, May 2023