Problem P. 5494. (May 2023)
P. 5494. The ``double yo-yo'' shown in the figure consists of two identical discs of uniform density and the threads wound on them.
The two bodies are released from rest such that the threads are vertical. How long does it take to unwind the thread from the lower disc, if its length is 80 cm?
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a korongok tömege \(\displaystyle m\), sugaruk \(\displaystyle R\), és így a tehetetlenségi nyomatékuk \(\displaystyle \tfrac12mR^2\). Jelöljük a felső korong tömegközéppontjának gyorsulását \(\displaystyle a_1\)-gyel, az alsó korongét \(\displaystyle a_2\)-vel, a felső fonalat feszítő erőt \(\displaystyle F_1\)-gyel, az alsó fonalét pedig \(\displaystyle F_2\)-vel (lásd az ábrát).
A korongok szöggyorsulása (a fonalak nyújthatatlansága miatt)
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \beta_1=\frac{a_1}{R}\) |
és
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \beta_2=\frac{a_2-a_1}{R}.\) |
A korongok tömegközéppontjainak mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle mg+F_2-F_1=ma_1,\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle mg-F_2=ma_2,\) |
a forgómozgások egyenletei pedig
| \(\displaystyle (5) \) | \(\displaystyle F_1R=\frac12mR^2\,\beta_1\) |
és
| \(\displaystyle (6) \) | \(\displaystyle F_2R=\frac12mR^2\,\beta_2.\) |
Az (1)-(6) lineáris egyenletrendszer megoldása:
\(\displaystyle a_1=\cfrac{8}{11}\,g, \qquad a_2=\cfrac{10}{11}\,g,\)
\(\displaystyle F_1= \cfrac{4}{11}\,mg, \qquad F_2= \cfrac{1}{11}\,mg.\)
\(\displaystyle \beta_1=\cfrac{8}{11}\cfrac{g}{R}\qquad \text{és}\qquad \beta_2=\cfrac{2}{11}\cfrac{g}{R}.\)
Ha az alsó korongról az \(\displaystyle s=0{,}8\ \)m hosszúságú fonál \(\displaystyle t\) idő alatt tekeredik le, akkor fennáll:
\(\displaystyle s=\frac{R\beta_2}{2}t^2,\)
ahonnan
\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{11s}{g}}=0{,}95\ \rm s.\)
Statistics:
13 students sent a solution. 5 points: Csiszár András, Fehérvári Donát, Kis Márton Tamás, Tárnok Ede , Vágó Botond. 3 points: 3 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, May 2023