Problem P. 5496. (May 2023)

P. 5496. A laser beam of diameter 5 mm is incident on the reflecting surface of the wall of a cylinder of diameter 10 cm, as shown in the figure. A screen is placed perpendicular to the reflected laser beam so that the distance between the reflection point and the screen is 20 cm. What is the shape and size of the light spot on the screen?

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a lézerfénynyaláb átmérőjét \(\displaystyle d\)-vel, a henger sugarát \(\displaystyle R\)-rel, továbbá a fénysugár tükröződési pontja és az ernyő közötti távolságot \(\displaystyle D\)-vel. (A feladat szövege szerint \(\displaystyle d=0{,}5\ \rm cm\), \(\displaystyle R=5\ \rm cm\) és \(\displaystyle D=20\ \rm cm\).) A továbbiakban kihasználjuk, hogy \(\displaystyle \frac{d}{R}=\frac{1}{10}\ll 1.\)

1. ábra

A lézernyaláb tengelyében haladó fénysugár a \(\displaystyle C\) pontban éri el a henger felületét (1. ábra). Vizsgáljuk meg, merre verődik vissza az a fénysugár, amelyik az ábra síkjában halad, és a középső fénysugártól mért (előjeles) távolsága \(\displaystyle x\). (Nyilván \(\displaystyle \vert x\vert\le d/2\).) Ez a fénysugár a hengerfelületet olyan \(\displaystyle P\) pontban éri el, amelyre \(\displaystyle PC\approx\sqrt2\,x\). (Kihasználtuk, hogy \(\displaystyle \vert x\vert\ll R\), és emiatt a \(\displaystyle PQC\triangle\) jó közelítéssel egyenlő szárú derékszögű háromszög. Mivel a \(\displaystyle P\) pontbeli érintősík a \(\displaystyle C\) ponthoz tartozó érintősíkkal

\(\displaystyle POC\angle\equiv \varphi\approx \frac{\sqrt2\,x}{R}\)

szöget zár be, a \(\displaystyle P\) pontból és a \(\displaystyle C\) pontból visszaverődő fénysugarak egymással bezárt szöge \(\displaystyle 2\varphi.\) Ennek a két fénysugárnak a kezdeti távolsága \(\displaystyle x\), de mire elérik a \(\displaystyle D\) távol lévő ernyőt, a távolságuk

\(\displaystyle C'P'\approx x+2D\,\varphi= \left(1+2D\frac{\sqrt2 }{R}\right)x\equiv \lambda\cdot x\)

lesz. (Itt ismét kihasználtuk, hogy \(\displaystyle \varphi\ll 1\).)

Látható, hogy az ernyőhöz érkező lézerfénynyaláb az ábra síkjában az eredeti méretének \(\displaystyle \lambda\)-szorosára szélesedik, tehát a teljes szélessége

\(\displaystyle 2\left(C'P'\right)_\text{max}=\left(1+2D\frac{\sqrt2 }{R}\right)d\approx 6{,}7\ \rm cm\)

lesz.

A fénynyaláb a henger tengelyének irányban egyáltalán nem szélesedik ki, hiszen az ugyanakkora \(\displaystyle x\) értékhez tartozó, de egymás ,,mögött'' haladó fénysugarak beesési szöge ugyanakkora, tehát a visszaverődési szögük sem tér el egymástól. Ezen sugarak távolsága az ernyőn az eredeti \(\displaystyle d=0{,}5\ \rm cm\) nagyságú marad.

Összefoglalva: az ernyőre érkező fénynyaláb szélessége az egyik irányban jelentősen megnyúlik, a másik (az előbbire merőleges) irányban változatlan marad, tehát az ernyőn a fényfolt (jó közelítéssel) egy \(\displaystyle a=6{,}1\ \rm cm\) nagytengelyű, \(\displaystyle b=0{,}5\ \rm cm\) kistengelyű ellipszis lesz (2. ábra).

2. ábra

Statistics:

5 students sent a solution.
5 points:	Tomesz László Gergő, Waldhauser Miklós.
4 points:	Fajszi Karsa, Tárnok Ede .

Problems in Physics of KöMaL, May 2023