Problem P. 5497. (May 2023)
P. 5497. Consider the Thomson model of the hydrogen atom. The radius of a hydrogen atom is about 50 pm.
\(\displaystyle a)\) Where can the electron be in equilibrium?
\(\displaystyle b)\) What is the frequency at which the electron oscillates around this equilibrium position? Into which region of the spectrum does the light of this frequency fall?
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A Thomson-féle atommodell szerint a pozitív töltés egyenletesen oszlik el az atomban, ennek megfelelően a hidrogénatomban a pozitív töltéssűrűség
\(\displaystyle \varrho=\frac{3e}{4\pi r_0^3} \)
(ahol \(\displaystyle e\) az elemi töltés, \(\displaystyle r_0\) az atom sugara). Ismeretes, hogy egy egyenletesen töltött gömbhéj a belsejében elhelyezett töltésre nem fejt ki erőt, és az is, hogy a gömbszimmetrikusan elhelyezkedő töltések tere kívül olyan, mintha az összes töltés a gömb középpontjában lenne. Eszerint a középponttól \(\displaystyle r\) távolságra lévő elektronra
\(\displaystyle F=-\frac{ke(\varrho 4\pi r^3/3)}{r^2}=-\frac{ke^2}{r_0^3}r \)
sugár irányú erő hat. E modellben tehát az elektron egyensúlyban a középpontban helyezkedne el, onnan kimozdítva pedig
\(\displaystyle D=\frac{ke^2}{r_0^3} \)
direkciós erőnek megfelelő harmonikus rezgőmozgást végezne. (Itt \(\displaystyle k\) a Coulomb-állandó.)
Megjegyzés. Az erőtér centrális, ezért az impulzusmomentum megmarad, tehát az eletron mozgásának síkja nem változik. A legáltalánosabb mozgás két tetszőlegesen felvett egymásra merőleges egyenes mentén végzett azonos körfrekvenciájú, de eltérő amplitúdójú és fázisú harmonikus rezgés eredője.
Az elektron tömegét \(\displaystyle m\)-mel jelölve a megfelelő rezgésidő és frekvencia
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{mr_0^3}{ke^2}},\qquad \textrm{illetve}\qquad f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{ke^2}{mr_0^3}}. \)
Az adatokat behelyettesítve \(\displaystyle f=7{,}16\cdot 10^{15}\ {\rm Hz}\) adódik, az ilyen frekvenciájú fény az ultraibolya tartományba esik.
Statistics:
23 students sent a solution. 5 points: Beke Bálint, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Halász Henrik, Hoós János, Klement Tamás, Merics Vilmos, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Sipeki Árpád, Szabó Zsombor, Tárnok Ede , Vágó Botond. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2023