Problem P. 5498. (May 2023)
P. 5498. A wedge of inclination angle \(\displaystyle \alpha\) and height \(\displaystyle h\) was fixed to a trolley. The trolley can roll easily, and the total mass of the trolley and the wedge is \(\displaystyle M\). At the bottom of the wedge there is a body of mass \(\displaystyle m\ll M\) at rest. We want to get the small body up to the top of the wedge by accelerating the wedge with a constant horizontal force.
\(\displaystyle a)\) What is the minimum work that we have to do in the process if friction is negligible?
\(\displaystyle b)\) In the case of this minimum work, what is the force that we have to exert on the wedge, and how long does it take to raise the small body to the height of \(\displaystyle h\)?
Data: \(\displaystyle h=1\) m; \(\displaystyle M=1\) kg; \(\displaystyle \alpha=30^\circ\).
(6 pont)
Deadline expired on June 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük az ékre ható erőt \(\displaystyle F\)-fel, a gyorsulását \(\displaystyle A\)-val, a kis testnek az ékhez viszonyított, felfelé irányított gyorsulását pedig \(\displaystyle a\)-val.
A lejtő csak a síkjára merőleges erőt tud kifejteni a kis testre, így annak mozgásegyenlete a lejtő esésvonalának irányában:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=m(A\cos\alpha-a),\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle A=\frac{a}{\cos\alpha}+g\tg\alpha.\) |
Az ék mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle F=MA,\) |
mert a kis test tömege elhanyagolhatóan kicsi. (Érdekes, hogy az (1) egyenlet annak ellenére hasznos információt hordoz, hogy a kis test tömege majdnem nulla.)
A mozgás idejét a
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle h=\frac{a\sin\alpha}{2}t^2 \) |
egyenletből számíthatjuk ki.
\(\displaystyle a)\) Az ék (és a kis test) gyorsítása közben végzett munka
\(\displaystyle W=F\cdot \frac{A}{2}t^2,\)
ami (1), (2) és (3) alapján
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle W=MA^2\frac{h}{a\sin\alpha}= \frac{Mh}{\sin\alpha}\left(\frac1{\cos^2\alpha}\cdot a+ \frac{g^2\tg^2\alpha}{a} +2g\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha} \right).\) |
Ennek a kifejezésnek keressük legkisebb érétket az \(\displaystyle a\) gyorsulás függvényében. (4) zárójeles kifejezésének utolsó tagja nem függ \(\displaystyle a\)-tól, az első kettő összege pedig (a számtani-mértani egyenlőtlenség szerint)
\(\displaystyle \frac1{\cos^2\alpha}\cdot a+\frac{g^2\tg^2\alpha}{\sin\alpha}\cdot \frac1a\ge 2\sqrt{\frac1{\cos^2\alpha}\cdot a\cdot \frac{g^2\tg^2\alpha}{a}} = 2g\frac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}.\)
Így tehát
\(\displaystyle W\ge \frac{4Mgh}{\cos^2\alpha}=52{,}3\ \rm J.\)
(Ez a munka többszöröse annak, mintha az éket és a kocsit \(\displaystyle h\) magasságba emeltük volna; ez tehát nem éppen energiatakarékos módja egy elhanyagolható tömegű test megemelésének.)
A legkisebb munkavégzés
\(\displaystyle a=g\sin\alpha\)
gyorsulás mellett valósul meg (ekkor egyenlő a számtani középben szereplő két tag).
\(\displaystyle b)\) A legkisebb munkavégzés esetén kifejtendő erő:
\(\displaystyle F=2Mg\tg\alpha\approx 11{,}3\ \rm N,\)
a mozgás ideje
\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}g}\frac1{\sin\alpha}\approx 0{,}9\ \rm s,\)
az átlagteljesítmény pedig
\(\displaystyle P=\frac{W}{t}\approx 58\ \rm W.\)
Statistics:
14 students sent a solution. 6 points: Bencz Benedek, Bodré Zalán, Halász Henrik, Tárnok Ede . 5 points: Fehérvári Donát. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 0 point: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2023