Problem P. 5500. (September 2023)
P. 5500. The long ropes of a swing can safely hold a maximum load of \(\displaystyle M\), when the swing is at rest. What is the maximum mass of a person that can swing on it, if the maximum angular displacement of the rope is an acute angle with a measure of \(\displaystyle \alpha\)? Plot your result on a graph!
(4 pont)
Deadline expired on October 16, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a (kötél hosszához képest pontszerűnek tekintett) hintázó ember tömege \(\displaystyle m\), a kötelek hossza \(\displaystyle \ell\), a teherbírásásuk pedig \(\displaystyle Mg\). Ha a maximális kitérés \(\displaystyle \alpha\), akkor a test sebessége \(\displaystyle \varphi\) szögkitérésű helyzetben az energiamegmaradás tétele szerint
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v(\varphi)=\sqrt{2g\ell(\cos\varphi-\cos\alpha)}.\) |
A test centripetális gyorsulását ebben a helyzetben az \(\displaystyle F\) fonálerő és a nehézségi erő fonálirányú komponense biztosítja. Newton mozgástörvénye szerint
\(\displaystyle \frac{m\,v(\varphi)^2}{\ell}=F-mg\cos\varphi,\)
ahonnan (1) felhasználásával
\(\displaystyle F=mg(3\cos\varphi-2\cos\alpha).\)
Ez az erő (adott \(\displaystyle \alpha\) mellett) \(\displaystyle \varphi=0\)-nál a legnagyobb:
\(\displaystyle F_\text{max}(\alpha)=mg(3-2\cos\alpha)\le Mg.\)
Innen következik, hogy
\(\displaystyle m\le m_\text{max}=\frac{M}{3-2\cos\alpha}.\)
A hintázó ember tömege tehát az ábrán látható zöld görbe alatti tartományba eshet.
Statistics:
76 students sent a solution. 4 points: Alexandrova Angelina, Bánkuti Bálint, Barna Márton, Beke Botond, Bélteki Teó, Benes András, Bocor Gergely, Bunford Luca, Csapó András, Csiszár András, Csóka Péter, Dancsák Dénes, Daniils Koselevs, Dobos Anita, Elekes Dorottya, Fajszi Karsa, Farkas 145 László, Flóring Balázs, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Hüvös Gergely, Kiss 131 Adorján Timon, Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Vincze Farkas Csongor. 3 points: Balogh Áron , Boér Panna Rita, Czirják Márton Pál, Erős Fanni, Fehérvári Donát, Halász Sámuel, Harkai Barnabás, Képes Botond, Muraközi Péter, Sütő Áron, Tibor Varga, Zhang Wenshuo Steve. 2 points: 8 students. 1 point: 11 students. 0 point: 6 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, September 2023