Problem P. 5501. (September 2023)

P. 5501. A rope is placed in a fixed tube which has a shape of a quarter of a circle as shown in the figure. What is the speed at which the rope leaves the tube if it is released? (Friction between the tube and the rope is negligible.)

(4 pont)

Deadline expired on October 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle 2\alpha\) nyílásszögű körívet formáló test tömegközéppontja (a ,,Négyjegyű függvénytáblázat'' szerint) a nyílásszög szögfelezőjén a kör középpontjától \(\displaystyle (r\sin{\alpha})/\alpha\) távolságra van. Esetünkben tehát az induláskor a tömegközéppont a cső aljánál

\(\displaystyle h_1=r\frac{\sin^2(\pi/4)}{(\pi/4)}=\frac{2r}{\pi} \)

értékkel van magasabban. Amikor a kötél éppen elhagyja a csövet, a középpontja a kötél hosszának felénél, tehát a cső alja alatt

\(\displaystyle h_2=\frac{r\pi}{4} \)

mélységben helyezkedik el. Az indulástól eddig a pillanatig tehát a tömegközéppont \(\displaystyle h_1+h_2{\textrm{-vel}}\) kerül mélyebbre. Ennek megfelelően az energiamegmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle v=\sqrt{2g\left(h_1+h_2\right)}=\sqrt{rg\left(\frac{4}{\pi}+\frac{\pi}{2}\right)}. \)

Statistics:

80 students sent a solution.
4 points:	Bélteki Teó, Bencz Benedek, Bunford Luca, Csapó András, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fleischman Illés, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Gyenes Károly, Hegedűs Ábel, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Képes Botond, Kern Luca, Klement Tamás, Molnár Kristóf, Muraközi Péter, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Szondy Péter, Tárnok Ede .
3 points:	Benes András, Bocor Gergely, Bogdán Benedek, Gyerő Soma, Hüvös Gergely, Kátai Ferdinánd, Lincoln Liu, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond.
2 points:	19 students.
1 point:	13 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, September 2023