Problem P. 5502. (September 2023)

P. 5502. During the rescue of the cargo from a cargo ship that had sunk in the water, by means of a ship crane, a granite sculpture pedestal was lifted from a depth of 4 m, at a constant speed of 0.2 m/s. The pedestal is a solid square based rectangular block made of granite of density \(\displaystyle 2750~\mathrm{kg/m}^3\), its height is 2 m and its base edge is 1.5 m. Initially the pedestal rests on its square base at the bottom of the riverbed. The granite block is raised until its bottom base is raised 3 m above the surface of the water. During lifting, the longer edges of the pedestal continuously remain in vertical position.

\(\displaystyle a)\) How much work must be done during the whole lifting process?

\(\displaystyle b)\) How did the power of the crane change during the lifting process?

(4 pont)

Deadline expired on October 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során nem vesszük figyelembe a talán nem elhanyagolható súrlódási és közeg­ellenállási veszteségeket, főleg azért, mert nem tudunk róluk semmit. Ezért az eredményül kapott munka és teljesítmény értékek valójában alsó korlátok.

\(\displaystyle a)\) Legalább annyi munkát kell végezni, amennyivel a gránittömb és a kiszorított víz együttes helyzeti energiája megnő. A

\(\displaystyle 2\,\textrm{m}\cdot1{,}5\,\textrm{m}\cdot1{,}5\,\textrm{m}= 4{,}5\,\textrm{m}^3\)

térfogatú tömb súlypontja 7 m-t emelkedik, miközben ugyanannyi térfogatú víz a felszínről a tömb helyére kerül, súlypontja 3 m-t süllyed (1. ábra).

\(\displaystyle W=7\,\textrm{m}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 2750\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2- 3\,\textrm{m}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 1000\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2=717\,\textrm{kJ}.\)

1. ábra

\(\displaystyle b)\) Az emelés \(\displaystyle \frac{7\,\textrm{m}}{ 0{,}2\,\textrm{m/s}}=35\ \textrm{s}\)-ig tart. Az első 10 másodpercben az egész tömb víz alatt van, utána 10 másodpercig részben, az utolsó 15 másodpercben pedig teljesen a víz fölött. A harmadik időtartományban a kiemeléshez szükséges teljesítmény állandó (sebesség\(\displaystyle \times\)erő):

\(\displaystyle P_3=0{,}2\,\textrm{m/s}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 2750\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2=24{,}3\,\textrm{kW}.\)

Az első időtartományban (a felhajtóerőt is figyelembe véve) a teljesítmény:

\(\displaystyle P_1=0{,}2\,\textrm{m/s}\cdot 4{,}5\,\textrm{m}^3\cdot 1750\,\textrm{kg/m}^3\cdot 9{,}81\,\textrm{m/s}^2=15{,}5\,\textrm{kW}.\)

A középső időtartományban egyenletesen (lineárisan) változik a két érték között. Ha az időt a vízből kiemelkedés kezdetétől mérjük, a teljesítmény az idő függvényében:

\(\displaystyle P_2=P_1+(P_3-P_1)\,{\frac{t}{10\,\textrm{s}} }.\)

A teljesítmény időfüggése a kiemelés alatt a 2. ábrán látható.

2. ábra

Statistics:

88 students sent a solution.
4 points:	Alexandrova Angelina, Bánkuti Bálint, Bencze Mátyás, Bogdán Benedek, Csapó András, Csiszár András, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Fajszi Karsa, Gyenes Károly, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Kis Márton Tamás, Kovács Benedek Noel, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Molnár Ábel, Molnár Kristóf, Muraközi Péter, Sütő Áron, Süveg Janka Villő, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Török Hanga, Vágó Botond, Vödrös Dániel László, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
3 points:	Balogh Krisztián, Beke Botond, Benes András, Bordás-Fehér Márton, Bunford Luca, Czifrik Laura, Daniils Koselevs, Éger Viktória, Fehérvári Donát, Fercsák Flórián, Gyerő Soma, Illés Gergely Levente, Klement Tamás, Labádi Balázs, Lincoln Liu, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Saller Bálint , Simon János Dániel, Zámbó Luca, Zólomy Csanád Zsolt.
2 points:	12 students.
1 point:	7 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, September 2023