Problem P. 5505. (September 2023)
P. 5505. A room is illuminated by a five-arm chandelier, attached to the ceiling. A symmetrical double convex handheld magnifying glass lies on the desk in the room. A glance at the magnifying glass reveals two images of the chandelier at different magnifications and orientations.
\(\displaystyle a)\) How are the two images created?
\(\displaystyle b)\) Into which directions do the arms of the chandelier point in reality?
(5 pont)
Deadline expired on October 16, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A két képet a nagyító két felületén visszaverődött fénysugarak hozzák létre. A lencse felső felülete domború tükörnek tekinthető, az általa létrehozott kép egyenes állású látszólagos kép a lencse alatt. A másik képet létrehozó sugarak először áthaladnak a lencsén, visszaverődnek a leképezés szempontjából homorú tükörnek tekintendő alsó felületen, majd újra átmennek a nagyító üvegén. Az így keletkező kép fordított állású valódi kép a lencse fölött. A fényképen nem látszik, hogy melyik kép hol helyezkedik el, de egy modell-számítással el tudjuk dönteni, melyik lehet a valódi, illetve a látszólagos kép. Legyen a felületek sugara \(\displaystyle R\), a nagyító fókusztávolsága \(\displaystyle f\), és tegyük fel, hogy a két leképezésben résztvevő sugarak kis szöget zárnak be a nagyító optikai tengelyével! Jelöljük a csillár távolságát a lencsétől \(\displaystyle t\)-vel, a két képtávolságot pedig \(\displaystyle k_1\)-gyel és \(\displaystyle k_2\)-vel! A lencse alatt keletkező virtuális kép esetében (igazodva a szokásos előjel konvencióhoz, és felhasználva, hogy a gömbtükrök fókusztávolsága \(\displaystyle R/2\))
\(\displaystyle \frac{1}{t}-\frac{1}{\left\vert k_1\right\vert}=-\frac{2}{R}. \)
A másik kép esetén használnunk kell, hogy a fény útjába eső leképező eszközök dioptriái (a fókusztávolságok reciprokai) összeadódnak, és hogy az üvegen kétszer is átmegy a fény.
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k_2}=\frac{2}{R}+\frac{2}{f}. \)
A két egyenletet összeadva és átrendezve
\(\displaystyle \left\vert k_1\right\vert-k_2=\left(\left\vert k_1\right\vert k_2\right)\left(\frac{2}{f}-\frac{2}{t}\right). \)
Mivel a csillár távolsága jóval nagyobb, mint a nagyító fókusztávolsága, azaz \(\displaystyle t\gg f\), a jobb oldal biztos pozitív, így
\(\displaystyle \left\vert k_1\right\vert>k_2. \)
Ugyanígy aránylik egymáshoz a megfelelő két kép nagysága is, azaz
\(\displaystyle K_1>K_2, \)
és ez igaz akkor is, ha a leképezésben részt vevő sugarak – mint az esetünkben – nagyobb szöget zárnak be a nagyító tengelyével. Tehát a lencse alatt keletkező egyenes állású, látszólagos kép a nagyobb, és ez mutatja helyesen, hogyan állnak a csillár karjai.
Statistics:
23 students sent a solution. 5 points: Tóth Kolos Barnabás. 4 points: Gerendás Roland, Halász Sámuel, Tóth Hanga Katalin, Žigo Boglárka. 3 points: 2 students. 2 points: 5 students. 1 point: 5 students. 0 point: 6 students.
Problems in Physics of KöMaL, September 2023