Problem P. 5506. (September 2023)

P. 5506. Consider the electron as a small, uniform-density, and uniformly charged sphere such that its energy calculated from the mass-energy equivalence equation is equal to the energy of the electrostatic field around the electron.

\(\displaystyle a)\) Determine the radius of the electron, which is called the classical radius of the electron.

\(\displaystyle b)\) The electron is a particle with half-integer spin, because its intrinsic angular momentum is half of the reduced Planck constant \(\displaystyle h/2\pi\), that is, \(\displaystyle \hbar/2\). Let us consider the electron's intrinsic angular momentum according to classical Newtonian mechanics, as the angular momentum of a uniform solid sphere rotating about an axis passing through its centre. Determine the tangential speed of a point on the ``equator'' of the rotating classical electron. Compare this with the speed of light.

(4 pont)

Deadline expired on October 16, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\)

\(\displaystyle mc^2=\frac12 k \frac{e^2}{r}, \quad \text{ahonnan} \quad r=\frac{ke^2}{2mc^2}=1{,}4\cdot 10^{-15}\,\textrm{m}. \)

Megjegyzések:

1. Az elektron körüli tér elektrosztatikus energiáját például úgy kaphatjuk meg egyszerűen, ha a gömbkondenzátor energiájának a képletét (\(\displaystyle QU/2\)) alkalmazzuk, és \(\displaystyle U\) helyére \(\displaystyle k Q/r\)-et írunk, \(\displaystyle Q\) helyére pedig az \(\displaystyle e\) elemi töltést.
2. A fenti eredmény annak felel meg, hogy az elektrongolyó töltése a felületén helyezkedik el, tehát a gömb belsejében a térerősség nulla. Ha figyelembe vesszük, hogy a gömb belsejében is van tér, és egyenletes térfogati töltéssűrűséget feltételezünk (továbbá az elektron anyag ,,relatív dielektromos állandóját'' 1-nek tekintjük), akkor valamivel nagyobb klasszikus elektronsugarat kapunk:

\(\displaystyle r=\frac{3ke^2}{5mc^2}. \)

Mivel a képletben szereplő számfaktor nem egyértelmű, viszont 1-hez eléggé közeli, ezért szokás volt a számfaktort elhagyni, vagyis az elektron klasszikus sugarát így meghatározni:

\(\displaystyle r=\frac{ke^2}{mc^2}=2{,}8\cdot 10^{-15}\,\textrm{m}. \)

\(\displaystyle b)\)

\(\displaystyle N=\frac{\hbar}{2}=\Theta \omega =\frac25 mr^2 \frac{v}{r}, \quad \text{vagyis} \quad v=\frac{5\hbar}{4mr}= 10^{11}\frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}. \)

Ez a sebesség a fénysebességnek több mint 300-szorosa (!) lenne.

Megjegyzés. A feladat arra mutat rá, hogy a klasszikus elektronsugár értelmetlen mennyiség, ma már csak fizikatörténeti érdekességként tartják számon.

Statistics:

26 students sent a solution.
4 points:	Aklan Larion, Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Csapó András, Csernyik Péter, Csóka Péter, Czifrik Laura, Dobos Anita, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Gerendás Roland, Illés Gergely Levente, Kis Márton Tamás, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Süveg Janka Villő, Tárnok Ede , Vágó Botond, Varga 802 Zsolt, Yiu Sing, Lee.
3 points:	Tóth Kolos Barnabás.

Problems in Physics of KöMaL, September 2023