Problem P. 5508. (October 2023)

P. 5508. Starting from rest, a car accelerates uniformly to a speed of \(\displaystyle v_0\). Along the acceleration track, a lot of speedometers were installed, at equal distances between two neighbouring ones. What is the average of readings of the speedometers?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a pályaszakasz hossza \(\displaystyle L\), az autó gyorsulása pedig \(\displaystyle a=\frac{v_0^2}{2L}.\) Ha a pálya mentén \(\displaystyle N\) számú (\(\displaystyle N\gg1\)) sebességmérőt helyeztek el, akkor ezek távolsága \(\displaystyle L/N\). Számozzuk meg a sebességmérőket a startvonaltól kiindulva, így a \(\displaystyle k\)-adik mérő távolsága az indítási helytől

\(\displaystyle s_k=k\frac{L}{N},\)

az ott elhaladó autó sebessége pedig

\(\displaystyle v_k=\sqrt{2as_k}=\sqrt{2\cdot\frac{v_0^2}{2L}\cdot k\frac{L}{N}}=v_0\sqrt{\frac{k}{N}}.\)

A mért sebességek átlaga

\(\displaystyle \overline{v}=v_0\left(\frac1{N}\sum_{k=1}^N\sqrt{\frac{k}{N}}\right). \)

A zárójelben álló kifejezés szemléletes geometriai jelentése: közelítőleg megegyezik az \(\displaystyle y=\sqrt{x}\) függvénynek a \(\displaystyle 0\le x\le 1\) intervallumon vett görbe alatti területével (lásd az 1. ábrát).

1. ábra

Ezt a \(\displaystyle T\) területet pl. integrálszámítás segítségével ki lehet számítani (az eredmény: \(\displaystyle T=\tfrac23)\), de elemi úton is meghatározható.

A görbe alatti terület és a görbe feletti (a fekvő parabola és az \(\displaystyle y=1\) egyenes közötti) terület összege nyilván 1. Ha tehát kiszámítjuk a görbe feletti \(\displaystyle 1-T\) terület nagyságát, a számunkra fontos másikat is megkapjuk.

Tükrözzük az 1. ábrát az \(\displaystyle y=x\) egyenesre, vagyis cseréljük fel az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) változókat (2. ábra).

2. ábra

Ezt a területet is téglalapok területének összegével közelíthetjük. (Ha \(\displaystyle N\gg 1\), akkor a közelítés pontosnak mondható.)

\(\displaystyle 1-T=\frac1{N}\sum_{k=1}^N \left(\frac{k}{N}\right)^2=\frac1{N^3}\sum_{k=1}^N k^2.\)

Ismert az első \(\displaystyle N\) egész szám négyzetösszege:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^N k^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.\)

Ezek szerint

\(\displaystyle T\approx 1-\frac13\left(1+\frac{1}{N}\right) \left(1+\frac{1}{2N}\right),\)

vagyis \(\displaystyle N\gg1\) miatt

\(\displaystyle T\approx1-\frac13=\frac23,\)

és így a keresett átlagsebesség \(\displaystyle \frac23v_0\).

Statistics:

68 students sent a solution.
5 points:	Alexandrova Angelina, Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Fajszi Karsa, Farkas 145 László, Fehérvári Donát, Gyenes Károly, Hüvös Gergely, Képes Botond, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt.
4 points:	Barna Márton, Bunford Luca, Csapó András, Debreceni Dániel, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fórizs Borbála, Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Masa Barnabás, Molnár Ábel, Vincze Farkas Csongor.
3 points:	6 students.
2 points:	7 students.
1 point:	5 students.
0 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2023