Problem P. 5509. (October 2023)

P. 5509. A small rubber bullet was fired with a toy rifle, from a point close to the horizontal ground, such that the greatest height that the bullet reached was equal to the horizontal range of its path.

\(\displaystyle a)\) At what angle, measured from the horizontal, was the bullet fired?

\(\displaystyle b)\) What are these distances if the initial speed of the bullet was 10 m/s?

\(\displaystyle c)\) What is the radius of curvature of the trajectory at the moment right after the launch and at the highest point of the trajectory?

(Neglect air resistance.)

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

\(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel \(\displaystyle \alpha\) szögben kilőtt lövedék emelkedési magassága

\(\displaystyle y_0=\frac{v_0^2}{2g}\sin^2\alpha,\)

a lőtávolság pedig

\(\displaystyle x_0=\frac{2v_0^2}{g}\sin\alpha\,\cos\alpha.\)

Ez a két távolság akkor egyezik meg, ha

\(\displaystyle \tg\alpha=4, \qquad \text{vagyis} \qquad \alpha\approx76^\circ.\)

\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle v_0=10\) m/s, akkor

\(\displaystyle x_0=y_0=\frac{8}{17} \frac{v_0^2}{g}\approx 4{,}8\ \rm m.\)

\(\displaystyle c)\) A pálya legmagasabb pontjánál a lövedék sebessége a kilövési sebességvektor vízszintes komponensének nagyságával egyezik meg, vagyis

\(\displaystyle v_1=v_0\cos\alpha=\frac{v_0}{\sqrt{17}}\approx 2{,}43\ \frac{\rm m}{\rm s}.\)

Ha a lövedék (parabola alakú) pályáját egy kicsiny darabon \(\displaystyle R_1\) sugarú körrel (az ún. simulókörrel) közelítjük, akkor a lövedék (centripetális) gyorsulása \(\displaystyle v_1^2/R_1\) nagyságú és függőlegesen lefelé irányuló. Ez a gyorsulás a nehézségi gyorsulással egyezik meg, hiszen a lövedék szabadon mozog, csak az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő hat rá. Ezek szerint

\(\displaystyle \frac{v_0^2\cos^2\alpha}{R_1}=g,\)

vagyis

\(\displaystyle R_1=\frac{v_0^2}{17g}\approx 60\ \rm cm.\)

Ekkora a pálya görbületi sugara a pálya legmagasabb pontjánál.

A kilövés helyénél a sebesség \(\displaystyle v_0\), és ha a simulókör sugara \(\displaystyle R_2\), akkor a mozgás irányára merőleges ,,centripetális gyorsulás'' a nehézségi gyorsulásnak az érintőre merőleges vetületével egyezik meg:

\(\displaystyle \frac{v_0^2}{R_2}=g\cos\alpha=\frac{g}{\sqrt{17}}.\)

Ennek megfelelően a görbületi sugár

\(\displaystyle R_2=\sqrt{17}\frac{v_0^2}{g}\approx 42\ \rm m.\)

Megjegyzés. A görbületi sugarakat differenciálszámítás felhasználásával ,,mechanikusan'' (fizikai megfontolások nélkül) is meghatározhatjuk.

A lövedék pályájának egyenlete

\(\displaystyle y=x\tg\alpha-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2,\)

vagyis \(\displaystyle \alpha\) ismert értéke mellett

\(\displaystyle y=4x-\frac{17}{2}\frac{g}{v_0^2}x^2.\)

A pálya tetőpontjához \(\displaystyle x_1=\frac{4}{17}\frac{v_0^2}{g}\), a kilövés helyéhez pedig \(\displaystyle x_2=0\) koordináta tartozik.

Matematika könyvekben vagy az interneten keresgélve megtalálhatjuk, hogy egy \(\displaystyle y(x)\) függvénnyel megadott síkgörbe tetszőleges pontjához tartozó görbületi sugár így számítható ki:

\(\displaystyle R=\frac{\left(1+y'^2\right)^{3/2}}{\left\vert y''\right\vert},\)

ahol \(\displaystyle y'\) a függvény első, \(\displaystyle y''\) pedig a második deriválat jelöli. Esetünkben

\(\displaystyle y'(x)=4-17\frac{g}{v_0^2}x, \qquad \text{illetve}\qquad y''(x)\equiv -17\frac{g}{v_0^2},\)

vagyis

\(\displaystyle y'(x_1)=0; \qquad y'(x_2)=4; \qquad y''(x_1)=y''(x_2)=-17\frac{g}{v_0^2}.\)

Ennek megfelelően az \(\displaystyle x_1\) pontban a görbületi sugár

\(\displaystyle R_1=\frac{v_0^2}{17 g},\)

a kilövési pontban pedig

\(\displaystyle R_2=\frac{v_0^2}{17 g}\cdot (1+16)^{3/2}=\sqrt{17}\frac{v_0^2}{g}.\)

Statistics:

93 students sent a solution.
5 points:	Alexandrova Angelina, Bánkuti Bálint, Beke Botond, Bélteki Teó, Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Bocor Gergely, Bogdán Benedek, Csapó András, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Diaconescu Tashi, Dobos Anita, Éger Viktória, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Képes Botond, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Molnár Kristóf, Papp András, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Sütő Áron, Süveg Janka Villő, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Vincze Farkas Csongor, Wodala Gréta Klára.
4 points:	13 students.
3 points:	14 students.
2 points:	5 students.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2023