Problem P. 5511. (October 2023)
P. 5511. Point-like weights of masses \(\displaystyle m\) and \(\displaystyle M=2m\) are attached to the two endpoints of the diameter of a circular ring of radius \(\displaystyle R\) and of negligible mass. The ring is placed on a tabletop so that it lies in a vertical plane and the weights are along the same vertical line, initially the heavier is above the other, as shown in the figure. The ring is released from this unstable equilibrium state. The friction between the ring and the tabletop is sufficiently high to allow the ring to roll on the tabletop without slipping.
\(\displaystyle a)\) What is the speed of the centre of the ring when the weight of \(\displaystyle M\) reaches the lowest point of its trajectory?
\(\displaystyle b)\) What is the downward force exerted on the table in case \(\displaystyle a)\)?
(5 pont)
Deadline expired on November 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A kérdéses pillanatban legyen az abroncs középpontjának sebessége \(\displaystyle v\). A csúszásmentesen gördülő abroncs szögsebessége ekkor \(\displaystyle \omega=v/R\), a felülre került \(\displaystyle m\) tömegű test sebessége pedig \(\displaystyle 2v\).
A rendszer mozgási energiája a kérdéses helyzetben (mivel ebben a helyzetben csak az \(\displaystyle m\) tömegű test mozog)
\(\displaystyle E_\text{m}=\frac12 m (2v)^2=2mv^2.\)
Az energiamegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle 2RMg= 2mv^2+2Rmg,\)
vagyis az abroncs középpontjának sebessége:
\(\displaystyle v=\sqrt{gR\left(\frac{M}{m}-1\right)}=\sqrt{gR}.\)
\(\displaystyle b)\) Az \(\displaystyle M\) tömegű test legmélyebb helyzeténél az abroncs középpontja éppen nem gyorsul. Az \(\displaystyle m\) tömegű test gyorsulása így \(\displaystyle R\omega^2\) lefelé, az \(\displaystyle M\) tömegű test gyorsulása pedig \(\displaystyle R\omega^2\) felfelé. Ha az asztal által az abroncsra kifejtett erő \(\displaystyle F\) (ugyanekkora nagyságú az asztalra ható nyomóerő is), akkor az egész rendszerre felírt Newton-egyenlet szerint
\(\displaystyle Mg+mg-F=mR\omega^2-MR\omega^2,\)
ahonnan \(\displaystyle \omega\) és \(\displaystyle v\) ismert kifejezésének behelyettesítése után kapjuk, hogy
\(\displaystyle F=(M+m)g+(M-m)g=2Mg=4mg.\)
Statistics:
55 students sent a solution. 5 points: Csapó András, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Hornok Máté, Képes Botond, Kis Márton Tamás, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Papp András, Simon János Dániel, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 4 points: Seprődi Barnabás Bendegúz. 3 points: 3 students. 2 points: 3 students. 1 point: 11 students. 0 point: 14 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, October 2023