Problem P. 5515. (October 2023)
P. 5515. According to the Bohr model, at what fraction of the speed of light does the electron move in the ground state of the hydrogen atom?
(4 pont)
Deadline expired on November 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.A Bohr-modell szerint az alapállapotban \(\displaystyle r\) sugarú körpályán \(\displaystyle v\) sebességgel keringő elektron mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}.\) |
Ezt kiegészítve a Bohr-féle kvantumfeltétellel:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle mvr=\hbar \quad \left(=\frac{h}{2\pi}\right),\) |
az elektron sebességére
\(\displaystyle v=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{\hbar}\)
adódik, vagyis a kérdezett arányszám:
\(\displaystyle \frac{v}{c}=0{,}0073 \approx \frac1{137}.\)
Ezt a dimenziótlan számot (amelynek reciproka majdnem pontosan egy egész szám) Sommerfeld-féle finomszerkezeti állandónak nevezik.
Statistics:
56 students sent a solution. 4 points: Bernhardt Dávid, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csapó András, Csernyik Péter, Dobos Anita, Éger Viktória, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fórizs Borbála, Fülöp Benjámin, Gerendás Roland, Halász Sámuel, Illés Gergely Levente, Kaszonyi Márk, Képes Botond, Kissebesi Máté, Klement Tamás, Konkoly Zoltán, Laduver Nóra, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Simon János Dániel, Sipeki Árpád, Soham Bhadra, Szabó Imre Bence, Szűcs Bence, Tárnok Ede , Varga 802 Zsolt, Vásárhelyi István Péter, Vincze Farkas Csongor, Wodala Gréta Klára, Zhang Wenshuo Steve. 3 points: Békei Botond, Bélteki Teó, Benes András, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Hübner Júlia, Kiss Hunor, Kovács Kristóf , Lengyel Szabolcs. 2 points: 5 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, October 2023