Problem P. 5518. (November 2023)

P. 5518. A cylindrical body of radius \(\displaystyle R=20~\) cm is fixed in a horizontal position. A piece of light and flexible thread of length \(\displaystyle \ell\) was laid on its slippery surface, as shown in the figure.

To one end of the thread a point-like body of mass \(\displaystyle m\), whilst to the other end another point-like body of mass \(\displaystyle 2m\) were attached. What can the greatest value of \(\displaystyle \ell\) be, if the system remains at rest?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a két test egyensúlyi helyzetét jellemző szögeket \(\displaystyle \alpha\)-val és \(\displaystyle \beta\)-val (lásd az ábrát).

Az egyes testek akkora erőt fejtenek ki a fonálra, mintha \(\displaystyle \alpha\), illetve \(\displaystyle \beta\) hajlásszögű lejtőkön helyezkednének el. Az egyensúly feltétele:

\(\displaystyle 2mg\sin\alpha=mg\sin\beta,\)

vagyis

\(\displaystyle 2\sin\alpha=\sin\beta.\)

(Látható, hogy \(\displaystyle \alpha<\beta\).) A fonál – a kitűzési ábra szerint – mindenhol hozzáfeszül a hengerhez, tehát \(\displaystyle \beta<90^\circ\) és \(\displaystyle \alpha<90^\circ\). (Az első feltételből már következik a második.)

A szinuszfüggvény a hegyesszögek tartományában monoton növekszik, ezért nagyobb \(\displaystyle \beta\) szöghöz nagyobb \(\displaystyle \alpha\) és nagyobb \(\displaystyle R(\alpha+\beta)\) fonálhossz tartozik. A fonál leghosszabb értéke tehát a legnagyobb megengedett \(\displaystyle \beta=90^\circ\) értékhez tartozik. Ennél a szögnél

\(\displaystyle \sin\beta=1; \qquad \sin\alpha=\frac12,\)

tehát

\(\displaystyle \alpha+\beta=120^\circ=\cfrac{2\pi}{3}\ \text{rad},\)

és így

\(\displaystyle \ell_\text{max}=\frac{2\pi}{3}R\approx 42\ \rm cm.\)

Statistics:

71 students sent a solution.
4 points:	Balogh Áron , Barna Márton, Beke Botond, Bencze Mátyás, Bunford Luca, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dancsák Dénes, Fekete Lúcia, Flóring Balázs, Gyenes Károly, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Hüvös Gergely, Kallós Balázs, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Márfai Dóra, Papp András, Saller Bálint , Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Szabó Donát, Tóth Gellért, Tóth Hanga Katalin, Vancsisin Márk, Vásárhelyi István Péter, Veres Zsombor Gábor, Wodala Gréta Klára, Zádori Gellért, Zámbó Luca.
3 points:	Bernhardt Dávid, Bogdán Benedek, Csapó András, Dobos Anita, Erős Fanni, Fehérvári Donát, Képes Botond, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Szabó Imre Bence, Tárnok Ede , Tibor Varga, Vágó Botond.
2 points:	5 students.
1 point:	5 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, November 2023