Problem P. 5520. (November 2023)

P. 5520. A horizontal cylinder of length \(\displaystyle 2\ell\) is closed at its both ends, and is divided into two equal parts by a thin piston. Each part contains air with a temperature of \(\displaystyle 100\;{}^\circ\)C and a pressure of 100 kPa. Into one part, enough water is ejected to produce a saturated vapour while the temperature is kept at \(\displaystyle 100\;{}^\circ\)C.

How much will the piston move and what will be the pressure in both parts?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a dugattyú elmozdulását \(\displaystyle x\ell\)-lel. A levegő parciális nyomása az izotermikus tágulás, illetve összenyomódás miatt a kezdeti \(\displaystyle p_0\) értékről a

\(\displaystyle p_1=\frac{p_0}{1-x}, \qquad \text{illetve}\qquad p_2=\frac{p_0}{1+x} \qquad \)

értékre változik. A kisebb parciális légnyomású oldalon, ahol telített gőz is található, a nyomást növeli a gőz nyomása, ami \(\displaystyle 100\,^\circ\)C-on éppen \(\displaystyle p_0\). A dugattyú egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle p_2+p_0=p_1,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{1}{1+x}+1=\frac{1}{1-x}.\)

Innen átrendezés után az

\(\displaystyle x^2+2x-1=0\)

másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=\sqrt2-1\). A dugattyú elmozdulása tehát

\(\displaystyle (\sqrt2-1)\ell\approx 0{,}41\,\ell,\)

a közös nyomás pedig

\(\displaystyle p_1=p_2+p_0=\left(1+\frac{1}{\sqrt2}\right)p_0\approx 171\ \rm kPa.\)

Statistics:

36 students sent a solution.
4 points:	Dobos Anita, Masa Barnabás, Muraközi Péter, Szabó Donát.
3 points:	Csiszár András, Flóring Balázs, Rózsa Laura Enikő , Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor.
1 point:	16 students.
0 point:	6 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2023