Problem P. 5521. (November 2023)

P. 5521. A hob has 12 identical resistance wires, which are connected as shown in the figure.

What is the percentage distribution of the dissipated power in each of the wires of the hotplate when voltage is applied across points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\)?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A teljesítmények százalékos megoszlása nem függ sem a hálózatra kapcsolt \(\displaystyle U\) feszültségtől, sem az ellenálláshuzalok \(\displaystyle R\) ellenállásától, hiszen mindegyik részteljesítmény \(\displaystyle U^2/R\)-rel arányos. Legyen pl. \(\displaystyle U=8\ \rm V\) és \(\displaystyle R=1\ \Omega\). (A továbbiakban az SI mértékegységeket nem írjuk ki.)

Ha az \(\displaystyle A\) pont potenciálja \(\displaystyle -4\), a \(\displaystyle B\) ponté \(\displaystyle +4\), akkor a középpont potenciálja (a szimmetria miatt) nulla. A másik két pont potenciálja (ugyancsak a szimmetria miatt) \(\displaystyle \pm x\) (1. ábra). (\(\displaystyle x\) értékét most még nem ismerjük.)

1. ábra

2. ábra

Az áramerősségek (\(\displaystyle R=1\) miatt) az egyes ellenálláshuzalok végpontjainak potenciálkülönbségével egyenlő (2. ábra). A felső és az alsó ágak bármelyik csomópontjára felírható Kirchhoff-törvény szerint

\(\displaystyle 4-x=x+2x,\qquad \text{vagyis}\qquad x=1.\)

Az áramerősségek négyzetével megegyező teljesítményeket, illetve azok százalékos megoszlását a (3. ábra) mutatja.

3. ábra

Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:	Barna Márton, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csapó András, Csóka Péter, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Hüvös Gergely, Képes Botond, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Molnár Kristóf, Muraközi Péter, Sipeki Árpád, Szabó Donát, Tibor Varga, Žigo Boglárka.
3 points:	Benes András, Fórizs Borbála, Tóth Kolos Barnabás.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	10 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2023