Problem P. 5522. (November 2023)
P. 5522. Two horizontal, parallel, frictionless insulating rods are spaced \(\displaystyle d\) apart. On the lower rod a small insulating bead of charge \(\displaystyle q\) and of mass \(\displaystyle m\) slides, and on the upper rod another small insulating bead of charge \(\displaystyle -q\) and of mass \(\displaystyle m\) slides, as shown in the figure.
Initially, the beads are spaced far apart and move towards each other with velocities of \(\displaystyle u\) and \(\displaystyle v\), respectively. What will the maximum velocity of each bead be during the motion?
(5 pont)
Deadline expired on December 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A mozgás egy adott \(\displaystyle t\) időpillanatában a gyöngyök egymás fölé érnek, ekkor a köztük ható erőnek nem lesz vízszintes komponense, így itt lesz sebességük maximális, jelölje ezeket a sebességeket \(\displaystyle U\) illetve \(\displaystyle V\).
Az általánosság elvesztése nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle u>v\). Mivel csak belső erők hatnak, a rendszer teljes impulzusa időben állandó; specifikusan igaz ez a kezdeti állapot és a \(\displaystyle t\) időpont között is:
| \(\displaystyle (1) \) | \(\displaystyle mu - mv = mU - mV\,.\) |
Hasonlóan az energiamegmaradás törvénye is felírható a Coulomb-erő konzervatív voltából fakadóan:
| \(\displaystyle (2) \) | \(\displaystyle \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mU^2 + \frac{1}{2}mV^2 - \frac{kq^2}{d}\,.\) |
Az (1) egyenletből \(\displaystyle V = U - u + v\), amelyet a (2) kifejezésbe behelyettesítve:
\(\displaystyle U^2 -(u-v)U - uv - \frac{kq^2}{md} = 0\,. \)
A másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján végül adódik az \(\displaystyle U\) sebesség. A két matematikai megoldás közül az \(\displaystyle u>v\) feltevésünket figyelembe véve a pozitívat kell választani:
\(\displaystyle {U = \frac{u-v}{2} + \sqrt{\frac{(u+v)^2}{4} + \frac{kq^2}{md}} }\,. \)
A másik matematikai megoldás pedig éppen a \(\displaystyle V\) sebesség ellentettjének felel meg a kiindulóegyenletek szimmetriájából fakadóan:
\(\displaystyle {V = \frac{v-u}{2} + \sqrt{\frac{(u+v)^2}{4} + \frac{kq^2}{md}} }\,. \)
Statistics:
44 students sent a solution. 5 points: Csapó András, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Flóring Balázs, Hegedüs Márk, Képes Botond, Klement Tamás, Muraközi Péter, Szabó Donát. 4 points: Bélteki Teó, Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Fajszi Karsa, Masa Barnabás, Molnár Zétény, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 3 students. 2 points: 4 students. 1 point: 9 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2023