Problem P. 5525. (November 2023)
P. 5525. In a long cylindrical metal wire of radius \(\displaystyle r\) and of resistivity \(\displaystyle \varrho\), a current of strength \(\displaystyle I\) flows in a uniform distribution. The wire has a constant surface temperature \(\displaystyle T_0\). Determine the temperature of the wire on its axis of symmetry if it is known that the metal has a coefficient of thermal conductivity of \(\displaystyle \lambda\).
(6 pont)
Deadline expired on December 15, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú vezetéknek \(\displaystyle x\) sugarú belső magját (\(\displaystyle 0<x<r\)), és számítsuk ki, mennyi hő fejlődik egységnyi idő alatt ebben a térrészben. Az áramerősség ebben a belső magban:
\(\displaystyle I(x)=I\frac{x^2}{r^2},\)
az ellenállása pedig
\(\displaystyle R(x)=\varrho\frac{\ell}{x^2\pi}.\)
A hőtermelés teljesítménye:
\(\displaystyle P(x)=I(x)^2\cdot R(x)=\cfrac{I^2x^2\varrho\ell}{r^4\pi}.\)
Ezt a hőteljesítményt – a Newton-féle hővezetési törvény szerint – a felületén keresztül áramlik kifelé:
\(\displaystyle P(x)=-2\pi x\ell\lambda\cdot \frac{\Delta T}{\Delta x}.\)
A fenti két egyenletből azt kapjuk, hogy az \(\displaystyle x\) sugarú henger felületénél a hőmérsékletgradiens
\(\displaystyle \frac{\Delta T}{\Delta x}= \frac{-I^2\varrho}{2\pi^2 r^4\lambda}\cdot x.\)
Látjuk, hogy a hőmérsékletgradiens az \(\displaystyle x\) távolság lineárisan változó függvénye, ezért számolhatunk úgy, mintha az egy állandó,
\(\displaystyle \left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)_\text{átlag}=\frac12\left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)_\text{max}=\frac{-I^2\varrho}{4\pi^2 r^3\lambda} \)
lenne. Ennek megfelelően
\(\displaystyle \frac{I^2\varrho}{4\pi^2 r^3\lambda}=\frac{T-T_0}{r},\)
vagyis a szimmetriatengelyen a hőmérséklet:
\(\displaystyle T=T_0 + \frac{I^2\varrho}{4\pi^2 r^2\lambda}.\)
Statistics:
19 students sent a solution. 6 points: Aklan Larion, Bencz Benedek, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Képes Botond, Seprődi Barnabás Bendegúz. 5 points: Hüvös Gergely, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka. 4 points: 3 students. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2023