Problem P. 5527. (December 2023)
P. 5527. On a horizontal, rough table, the value of the coefficient of kinetic friction \(\displaystyle \mu\) depends on the distance \(\displaystyle x\) measured from the edge of the table. Launching a small body from the edge at different initial velocities \(\displaystyle v\), we find that the distance along which the small body stops is \(\displaystyle s=kv\), where \(\displaystyle k\) is a parameter characteristic of the table. Determine the function how the value of the coefficient of kinetic friction depends on the position.
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Érdemes a munkatételből kiindulni, azaz felhasználni, hogy valamely \(\displaystyle v\) kezdősebesség esetén a mozgási energia csökkenését a súrlódási erő \(\displaystyle W(s)\) munkája fedezi:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}mv^2=W(s)\,.\) |
Amennyiben a testet egy kicsivel nagyobb \(\displaystyle v+\Delta v\) kezdősebességgel indítjuk, úgy a megállásig megtett út \(\displaystyle s+\Delta s\) értékre módosul, ekkor a munkatétel alakja:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}m(v+\Delta v)^2=W(s+\Delta s)\,.\) |
Az (1) és (2) egyenleteket egymásból kivonva (bár a súrlódási tényező helyfüggő, a mozgás első \(\displaystyle s\) hosszúságú része ugyanazon az útvonalon történt, így \(\displaystyle W(s+\Delta s)=W(s)+W(\Delta s)\), ezért a kivonás elvégezhető), és a munka definícióját felhasználva az alábbi összefüggésre jutunk:
\(\displaystyle mv\Delta v=\mu(s)mg\Delta s\,,\)
ahol elhanyagoltuk a \(\displaystyle (\Delta v)^2\)-tel arányos tagokat. A feladatban megadott \(\displaystyle s=kv\) arányosság alapján könnyen látható, hogy \(\displaystyle \Delta s=k\Delta v\). Ezt felhasználva:
\(\displaystyle v=\mu(s)gk\,.\)
A \(\displaystyle v=s/k\) inverz arányosságot behelyettesítve végül adódik a súrlódási együttható helyfüggése:
\(\displaystyle \mu(x)=\frac{x}{gk^2}\,.\)
Statistics:
40 students sent a solution. 5 points: Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Diaconescu Tashi, Fajszi Karsa, Flóring Balázs, Gyenes Károly, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Kátai Ferdinánd, Képes Botond, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Masa Barnabás, Molnár Zétény, Pázmándi József Áron, Rózsa Zsombor, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás, Vincze Farkas Csongor, Žigo Boglárka, Zólomy Csanád Zsolt. 4 points: Fehérvári Donát. 3 points: 4 students. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2023