Problem P. 5529. (December 2023)

P. 5529. A 7-tonne helicopter can hover in one place if its engine produces \(\displaystyle 1000~\mathrm{kW}\) of power. Estimate the power required to hover the helicopter in one place if there is an additional 4 tonnes of weight in it.

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A helikopter azért tud egyhelyben lebegni, mert a rotor által kifejtett emelőerő megegyezik a helikopter \(\displaystyle G\) súlyával. A rotorok a kezdetben álló levegőt felgyorsítják \(\displaystyle v\) sebességre. A gyorsítás \(\displaystyle \Delta t\) ideje alatt a levegő impulzusa \(\displaystyle \rho Av^2\Delta t\) értékkel növekszik meg, ahol \(\displaystyle \rho\) a levegő sűrűsége, \(\displaystyle A\) a rotor által súrolt terület. Az emelőerő nagysága megegyezik az impulzus egységnyi időre eső megváltozásával, azaz \(\displaystyle \rho Av^2\)-tel. A helikopter egyensúlyának feltételéből következik, hogy

\(\displaystyle G\sim v^2\,.\)

A motor mechanikai munkája arra fordítódik, hogy növelje a levegő kinetikus energiáját. \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt a levegő kinetikus energiája \(\displaystyle \frac{1}{2}\rho Av^3\Delta t\) értékkel növekszik meg. A rotor \(\displaystyle P\) teljesítménye megegyezik az egységnyi idő alatt végzett munkával, amiből következik, hogy

\(\displaystyle P\sim v^3\,.\)

A két arányosságot egymásba helyettesítjük: \(\displaystyle P\sim G^{3/2}\sim m^{3/2}\), ahol \(\displaystyle m\) a helikopter tömege. A megpakolt helikopter lebegtetéséhez szükséges teljesítmény:

\(\displaystyle 1000\,\mathrm{kW}\left(\frac{11\,\mathrm{t}}{7\,\mathrm{t}}\right)^{3/2}=1970\,\mathrm{kW}\approx 2000\,\mathrm{kW}\,.\)

Statistics:

65 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Bocor Gergely, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Fajszi Karsa, Hegedüs Márk, Hüvös Gergely, Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Masa Barnabás, Molnár Ábel, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tárnok Ede , Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka, Zólomy Csanád Zsolt.
4 points:	Bélteki Teó, Csapó András, Rózsa Laura Enikő , Vágó Botond.
3 points:	1 student.
2 points:	2 students.
1 point:	23 students.
0 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, December 2023