Problem P. 5531. (December 2023)
P. 5531. A glowing firefly accidentally flew into the open tube of a Newtonian telescope. When it was moving along the optical axis through point \(\displaystyle P\), which is a point on the principal axis 150 cm from the mirror, the instantaneous speed of its image was twice as fast as when it flew through point \(\displaystyle P\) at the same speed as before, but perpendicularly to the principal axis. What is the focal length of the mirror in the telescope?
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a szokásos módon a tárgytávolságot \(\displaystyle t\)-vel, a képtávolságot \(\displaystyle k\)-val és a fókusztávolságot \(\displaystyle f\)-fel. A leképezési törvény szerint
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f},\)
amit
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle (t-f)(k-f)=f^2\) |
alakban is felírhatunk.
Vizsgáljuk először az optikai tengely mentén mozgó bogár esetét. Ha egy kicsiny \(\displaystyle \Delta\tau\) idő alatt a tárgytávolság \(\displaystyle t+v\Delta\tau\) lesz, és a képtávolság \(\displaystyle \Delta k\)-val változik meg, akkor fennáll
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle (t+v\Delta\tau-f)(k+\Delta k-f)=f^2.\) |
(2)-ből (1)-t kivonva és a kicsiny mennyiségek szorzatát elhanyagolva a képpont sebességére a
\(\displaystyle u_\text{párhuzamos}=\frac{\Delta k}{\Delta\tau}\approx -\frac{f^2}{(t-f)^2}\,v\)
kifejezést kapjuk. (Kihasználtuk, hogy \(\displaystyle v\Delta\tau\ll t\).) Mivel az \(\displaystyle \frac{f}{t-f}\) mennyiség éppen a távcső tükrének adott tárgytávolsághoz tartozó \(\displaystyle N\) nagyítása, a bogár sebessége
\(\displaystyle u_\text{párhuzamos}=-N^2v\,.\)
Amikor a szentjánosbogár az optikai tengelyre merőlegesen repül, a tárgynak és a képnek a tengelytől mért távolságára igaz, hogy
\(\displaystyle \frac{K}{T}=\frac{k}{t}=N\,,\)
és így a képpont sebessége:
\(\displaystyle u_\text{merőleges}=Nv\,.\)
A kétféle sebesség nagyságának aránya
\(\displaystyle \left\vert\frac{u_\text{párhuzamos}}{u_\text{merőleges}}\right\vert=\vert N \vert =2,\)
vagyis \(\displaystyle N=-2\) vagy \(\displaystyle N=+2\). Ennek megfelelően a fókusztávolság vagy 300 cm, vagy pedig 100 cm lehet. A második eset nem életszerű, hiszen a távcsövek tubusa általában nem sokkal hosszabb, mint a fókusztávolság. A második esetben tehát a bogár a tubuson kívül tartózkodna, holott a feladat szövege a tubusba ,,berepülő'' szentjánosbogarat említ.
Az \(\displaystyle f=300\,\mathrm{cm}\)-es fókusztávolság elfogadható eredmény.
Statistics:
13 students sent a solution. 5 points: Csapó András, Debreceni Dániel. 4 points: Bencze Mátyás, Gyerő Soma, Tóth Kolos Barnabás. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 4 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, December 2023