Problem P. 5532. (December 2023)

P. 5532. A variable capacitor with an initial capacitance of \(\displaystyle C_0\) is charged to a voltage of \(\displaystyle U_0\) and short-circuited through a resistor of resistance \(\displaystyle R\).

\(\displaystyle a)\) How long and how should we vary the capacitance of the capacitor so that the current remains constant when the capacitor is discharged?

\(\displaystyle b)\) Determine the ratio of the initial energy of the capacitor to the heat dissipated by the resistor. Explain your results.

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A kondenzátort kisütő áram erőssége

\(\displaystyle I=\frac{U_0}{R}\,.\)

Mivel ez állandó a feladat szövege alapján, így az ellenálláson eső feszültség és a kondenzátor feszültsége is az, értéke \(\displaystyle U_0\). A kapacitáson lévő töltés

\(\displaystyle q(t)=q_0-It\,,\)

ahol \(\displaystyle q_0=U_0C_0\) a kondenzátor kezdeti töltése. Ennek megfelelően a kondenzátor kapacitását a

\(\displaystyle C(t)=\frac{q_0-It}{U_0}=C_0\left(1-\frac{t}{RC_0}\right)\)

összefüggés szerint kell változtatnunk az állandó áram biztosításához. A kisülés ideje

\(\displaystyle \tau=RC_0\,.\)

\(\displaystyle b)\) Az ellenálláson termelődő Joule-hő

\(\displaystyle Q=U_0I\tau=U_0^2C_0\,,\)

míg a kapacitás kezdeti energiája ennek pont a fele:

\(\displaystyle E=\frac{U_0^2C_0}{2}\,.\)

A különbözetet az a munka fedezi, amit a kapacitás folyamatos csökkentéséhez kellett befektetni.

Megjegyzés. Nagyon szemléletes, hogy egy töltött kondenzátor kapacitásának csökkentéséhez munkát kell végeznünk. Hiszen ha a kialakítás engedné, akkor a kapacitás spontán módon nőne: az ellentétesen töltött fegyverzetek vonzása csökkentené a távolságukat, ami a kapacitást növelné.

Statistics:

25 students sent a solution.
5 points:	Csapó András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Képes Botond, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát.
4 points:	Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Flóring Balázs, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Tóth Hanga Katalin, Vincze Farkas Csongor.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, December 2023