Problem P. 5533. (December 2023)
P. 5533. The \(\displaystyle {}^{40}\mathrm{K}\) isotope has unusual behaviour because it can undergo both negative and positive beta decay, and even capture an inner electron. What is the decay energy of the three processes in MeV units?
Hint: For the relative isotopic masses see https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf\,.
(4 pont)
Deadline expired on January 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A tömeg-energia megmaradásának alapján számíthatjuk ki a bomlási energiát. Kezdjük a negatív bétabomlással:
\(\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ca})+m_{\mathrm{elektron}}\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.\)
Ebben az egyenletben az atommagok tömege szerepel, de a táblázatokban az izotópoknak az elektronokkal együtt mérhető tömegét találhatjuk meg. Ezért a táblázatokban megadott értékekből a bal oldalon a kálium 19 elektronját kell levonnunk, a jobb oldalon pedig a Ca 20 elektronját. De a jobb oldalon a kirepülő béta-részecske (vagyis egy elektron) tömegét a keletkező Ca mag tömegéhez hozzá kell adnunk, és így mindkét oldalon 19 elektron levonására lenne szükség, de ezzel egyszerűsíthetünk. A bomlási energia tehát így számítható ki:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{20}\mathrm{Ca})\right)c^2\,.\)
A táblázatokban az izotóptömegek atomi tömegegységekben (\(\displaystyle u\)) vannak megadva. Könnyen belátható, hogy \(\displaystyle u=931{,}5\,\frac{\mathrm{MeV}}{c^2}\). Írjuk be a numerikus értékeket:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{20}\mathrm{Ca})\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962591)uc^2=1{,}311\,\mathrm{MeV}\,.\)
A pozitív bétabomlásnál a tömeg-energia egyenlet így írható fel:
\(\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ar})+m_\mathrm{pozitron}\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.\)
A táblázatok izotóptömegeit használva a káliumból most is 19 elektrontömeget kell levonnunk, de az argonnak csak 18 levonandó elektronja van, és még ott van a pozitron tömege is, ami megegyezik az elektron tömegével. Tehát a bomlási energia így számítható ki a táblázatok adataival:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{18}\mathrm{Ar})-2m_\mathrm{elektron}\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962383-2\cdot 0,000549)uc^2=0{,}482\,\mathrm{MeV}\,.\)
Végül az elektronbefogásnál a tömeg-energia megmaradási egyenlet:
\(\displaystyle \left(m(^{40}\mathrm{K})+m_\mathrm{elektron}\right)c^2=\left(m(^{40}\mathrm{Ar})\right)c^2+E_\textrm{bomlási}\,.\)
A táblázatok adataiból a kálium 19 elektronját kell levonni, de ehhez hozzáadódik a befogott elektron, így ez a levonás megegyezik az argon 18 elektronjának levonásával:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\left(m(^{40}_{19}\mathrm{K})-m(^{40}_{18}\mathrm{Ar})\right)c^2=(39{,}963998-39{,}962383)uc^2=1{,}504\,\mathrm{MeV}\,.\)
Megjegyzés. A bétabomlás során neutrínó is keletkezik, azonban ennek a tömege olyan kicsi, hogy a bomlási energia számításában nem kell figyelembe vennünk. Ugyancsak figyelmen kívül hagyhatjuk az atomi elektronok kötési energiáit is, vagyis az elektronok tömegét illetően szabadelektronokkal számolhatunk.
Statistics:
28 students sent a solution. 4 points: Bernhardt Dávid, Bunford Luca, Éger Viktória, Erős Fanni, Fórizs Borbála, Képes Botond, Molnár Kristóf. 3 points: Bélteki Teó, Csernyik Péter, Dobos Anita, Kis Márton Tamás, Kissebesi Máté, Klement Tamás. 2 points: 4 students. 1 point: 4 students. 0 point: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, December 2023