Problem P. 5536. (January 2024)
P. 5536. In a football match, a free kick is taken from a point \(\displaystyle P\) at a distance \(\displaystyle d\) from the goal. Point \(\displaystyle P\) is on the perpendicular bisector of the goal line. The player kicks the ball at an angle of \(\displaystyle \alpha\) just towards the centre of the upper goalpost, but after a time \(\displaystyle t_1\) it falls to the ground in the middle of the goal line. The kick has to be repeated for some reason. The second time, the player kicks the ball harder, at an angle of \(\displaystyle 2\alpha\), and after \(\displaystyle t_2\) it hits the middle of the top goalpost. (The size of the goal is slightly different from the regular size of a goal.)
\(\displaystyle a)\) What was the angle \(\displaystyle \alpha\)?
\(\displaystyle b)\) What was the distance \(\displaystyle d\)?
\(\displaystyle c)\) What were the initial speeds of the ball at the first and at the second kick?
(Consider the ball as a point-like body and neglect air resistance.)
Data: \(\displaystyle t_1=1.90~\text{s}\), \(\displaystyle t_2=1.93~\text{s}\), \(\displaystyle g=9.81~\text{m}/\text{s}^2\).
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
Az eredeti feladat adataival olyan eredmény adódott volna, amely ütközött a foci szabályaival (a szabadrúgást a tizenhatoson belülről rúgták volna). Emiatt az adatokat megváltoztattuk, és ekkor – tévedésből – olyan időadatok kerültek be, amelyekkel a feladat fizikai szempontból ugyan megoldható, de irreális eredményeket ad. A hibáért elnézést kérünk!
A labda mozgására a következő egyenleteket írhatjuk fel:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_1t_1\cos\alpha=d,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v_1t_1\sin\alpha-\frac{g}{2}t_1^2=0,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v_2t_2\cos2\alpha=d,\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle v_2t_2\sin2\alpha-\frac{g}{2}t_2^2=d\tg\alpha.\) |
Ezekből az ismeretlen mennyiségek (\(\displaystyle d,\alpha, v_1\) és \(\displaystyle v_2\)) kifejezhetők.
\(\displaystyle a)\) (1)-ből kifejezve \(\displaystyle v_1\)-et és azt (2)-be helyettesítve
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \frac{g}{2d}=\frac{\tg\alpha}{t_1^2}\) |
adódik. Hasonló módon a (3)-ból kifejezett \(\displaystyle v_2\)-t (4)-be írva kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \frac{g}{2d}=\frac{\tg 2\alpha-\tg\alpha}{t_2^2}.\) |
(5) és (6) összevetéséből
\(\displaystyle \frac{t_2^2}{t_1^2}=\frac{\tg 2\alpha-\tg\alpha}{\tg\alpha}=\frac{2}{1-\tg^2\alpha}-1=\frac{1+\tg^2\alpha}{1-\tg^2\alpha},\)
ahonnan
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle \alpha=\arctg \sqrt{\frac{t_2^2-t_1^2}{t_2^2+t_1^2}}\approx 7{,}13^\circ.\) |
\(\displaystyle b)\) (5) és (7) felhasználásával a keresett távolság:
\(\displaystyle d=\frac{g t_1^2}{2}\sqrt{\frac{t_2^2+t_1^2}{t_2^2-t_1^2}}\approx 141\,\mathrm{m}.\)
\(\displaystyle c)\) Az elrúgott labdák kezdősebessége (1) és (3)-ból számítható ki:
\(\displaystyle v_1=\frac{gt_1t_2}{\sqrt{2(t_2^2-t_1^2)}}\approx 75{,}0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},\)
illetve
\(\displaystyle v_2=\frac{gt_2}{2}\sqrt{\frac{t_2^2+t_1^2}{t_2^2-t_1^2}}\approx 75{,}6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.\)
Megjegyzések: 1. A számszerű eredmények nyilvánvalóan nem összeegyeztethetők egy valóságos focipályával, hiszen a kapu magasságára (amelynek értékét ugyan a feladat nem kérdezte) \(\displaystyle 17{,}7\,\mathrm{m}\) adódik. A szabadrúgás távolsága és a sebességek is túl nagynak adódnak.
2. Észrevehetjük, hogy a numerikus eredmények rendkívül érzékenyek a kiinduló adatokra (és a számítások közbeni esetleges kerekítésekre). Ennek az az oka, hogy a kifejezésekben két, egymástól csak nagyon kicsit eltérő mennyiség különbsége szerepel. (Ugyanakkor az időadatokat kettőnél több tizedes pontossággal megadni a labda kiterjedt mérete miatt értelmetlen.)
3. Az irreális numerikus eredmények miatt a hibátlan paraméteres megoldásért is maximális pontszám jár.
Statistics:
41 students sent a solution. 5 points: Beke Botond, Bencz Benedek, Bencze Mátyás, Bunford Luca, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Hegedüs Márk, Kis Márton Tamás, Kiss 131 Adorján Timon, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Szabó Imre Bence, Tóth Hanga Katalin, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 1 student. 2 points: 3 students. 1 point: 4 students. 0 point: 6 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2024