Problem P. 5537. (January 2024)

P. 5537. In an adventure park, adventurers can roll down freely (without brakes) in a small car from point \(\displaystyle A\), which is at the top of a \(\displaystyle R=20~\text{m}\) high slope. The slope has an \(\displaystyle \alpha=30^{\circ}\) inclination angle, the car's initial speed is zero. The slope is connected smoothly to a circular arc-shaped track of radius \(\displaystyle R\) at point \(\displaystyle B\), then the track continues horizontally from its lowest point \(\displaystyle C\). On the horizontal part of the track, the car is properly braked, decelerates uniformly in time, and stops at \(\displaystyle D\) after covering a distance of \(\displaystyle \ell=2R\).

Calculate how many times the their normal weight do the passengers in the car feel during the motion. Graph this ratio as a function of the travelled distance.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy \(\displaystyle m\) tömegű testre a nehézségi erőn kívül \(\displaystyle \boldsymbol{K}\) erő hat, akkor a mozgásegyenlet szerint

\(\displaystyle m\boldsymbol{g}+\boldsymbol{K}=m\boldsymbol{a},\)

vagyis

\(\displaystyle \boldsymbol{K}=m(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{g}),\)

ahol \(\displaystyle \boldsymbol{a}\) a test gyorsulásvektora. Megállapodás szerint a \(\displaystyle \boldsymbol{K}\) erő ellenerejének nagyságát nevezik a test \(\displaystyle G\) súlyának:

\(\displaystyle G=m\vert\boldsymbol{g}-\boldsymbol{a}\vert.\)

(Ezt a \(\displaystyle G\) értéket mutatja az a mérleg, amit a gyorsuló test alá helyeznek.) A szokásos súly az álló helyzetben (vagy gyorsulásmentes körülmények között) mért súly: \(\displaystyle G_0=mg.\) A feladatban kérdezett arányszám:

\(\displaystyle \lambda\equiv\frac{G}{G_0}=\frac{\vert\boldsymbol{g}-\boldsymbol{a}\vert}{g}.\)

I. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pont között a kis kocsi (és benne az emberek) lejtőirányú gyorsulása \(\displaystyle a=g\sin\alpha\). Ugyanekkora a nehézségi erő lejtőirányú komponense is, ezek különbsége tehát nulla. Ennek megfelelően

\(\displaystyle \vert\boldsymbol{g}-\boldsymbol{a}\vert=g\cos\alpha\)

és így

\(\displaystyle \lambda=\cos\alpha\approx 0{,}87.\)

A mozgás ezen szakaszának hossza

\(\displaystyle s_1=R\,\ctg\alpha\approx 34{,}6\,\mathrm{m}.\)

II. A mozgás második szakaszában (a \(\displaystyle CB\) köríven) a test gyorsulása az érintőirányú gyorsulásból és a sugárirányú (centripetális) gyorsulásból tevődik össze. Az érintőleges gyorsulás és a nehézségi gyorsulás érintőirányú komponense megegyezik, ezek különbsége tehát nulla. A sugárirányú gyorsulás nagysága \(\displaystyle v^2/R\), ahol \(\displaystyle v\) a test pillanatnyi sebessége. A nehézségi gyorsulás sugárirányú komponense a centripetális gyorsulással ellentétes irányú és \(\displaystyle g\cos\varphi\) nagyságú, ahol \(\displaystyle \varphi\) (\(\displaystyle \alpha>\varphi>0)\) a test pillanatnyi helyzetéhez tartozó sugárnak a függőlegessel bezárt szöge. Ennek megfelelően

\(\displaystyle \lambda=\frac{v^2}{Rg}+\cos\varphi.\)

A sebességet az energiamegmaradás törvényét alkalmazva kapjuk meg:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgR\cos\varphi,\qquad\textrm{vagyis}\qquad v=\sqrt{2gR\cos\varphi},\)

és innen

\(\displaystyle \lambda=3\cos\varphi.\)

A körív hossza:

\(\displaystyle s_2=R\alpha=R\frac{\pi}{6}\approx 10{,}5\,\mathrm{m}.\)

Közvetlenül a \(\displaystyle B\) pont elhagyása után \(\displaystyle \lambda\approx 2{,}6\), a \(\displaystyle C\) pont elérése előtti pillanatban pedig \(\displaystyle \lambda=3{,}00.\) A megtett \(\displaystyle s\) út és \(\displaystyle \varphi\) közötti kapcsolat:

\(\displaystyle \varphi=\ctg\alpha+\alpha-\frac{s}{R}.\)

III. A mozgás harmadik, fékezéses szakaszában a gyorsulás vízszintes irányú és \(\displaystyle a=\frac{R}{\ell}g=\frac{1}{2}g\) nagyságú. Ennek megfelelően

\(\displaystyle \lambda=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12.\)

A mozgás ezen szakaszának hossza \(\displaystyle s_3=40\,\mathrm{m}\), a teljes út pedig \(\displaystyle s_1+s_2+s_3\approx 85\,\mathrm{m}.\)

A \(\displaystyle \lambda\) arányszámnak a megtett úttól való függését az ábra mutatja. Látható, hogy \(\displaystyle \lambda(s)\) nem folytonos függvény, a \(\displaystyle B\) és a \(\displaystyle C\) pontokban ,,ugrása'' van. A Newton-törvény szerint (véges nagyságú erők esetén) csak a sebesség nem változhat meg hirtelen, a gyorsulásra nincs ilyen kikötés.

Megjegyzés. A feladatban leírt ,,zökkenés'' elkerülése érdekében a vasúti pályák és az autópályák görbületi sugara csak fokozatosan változik, tehát egyesen szakaszhoz sosem csatlakozik körív.

Statistics:

40 students sent a solution.
5 points:	Bernhardt Dávid, Csiszár András, Fehérvári Donát, Hegedüs Márk, Nguyen Kim Dorka, Tóth Kolos Barnabás, Vágó Botond, Zólomy Csanád Zsolt.
4 points:	Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Csapó András, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Fajszi Karsa, Gyerő Soma, Kovács Kristóf , Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron, Szabó Donát, Tárnok Ede , Zádori Gellért, Žigo Boglárka.
3 points:	5 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2024