Problem P. 5539. (January 2024)
P. 5539. A long, rigid plank of negligible mass is suspended by \(\displaystyle n\) equally spaced springs of the same spring constants, and the same unstretched lengths. The first spring can exert a maximum force of \(\displaystyle K\), the second can exert a maximum force of \(\displaystyle 2K\), \(\displaystyle \ldots\), the \(\displaystyle n^\text{th}\) a force of \(\displaystyle n\cdot K\) without breaking. What is the maximum mass of a body that can be placed on the plank? Where should it be placed? (Assume that the springs are barely stretched.)
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelölje \(\displaystyle m\) a pallóra helyezett nehezék tömegét, \(\displaystyle x\) a távolságát az első felfüggesztési ponttól, és legyen \(\displaystyle \Delta x\) a szomszédos felfüggesztési pontok távolsága. A rugók kis megnyúlása esetén a palló helyzete csak kicsit térhet el a vízszintestől, a rugók, és így a felfüggesztési pontokban ható erők függőlegesnek tekinthetők. A megnyúlások és ennek megfelelően a rugókban ébredő erők is számtani sorozatot alkotnak (hiszen a palló nem hajlik meg):
\(\displaystyle K_i= K_1+(i-1)\Delta K.\)
A pallóra ható erők és forgatónyomatékok egyensúlyban vannak, azaz
\(\displaystyle mg=\sum_{i=1}^n K_i= \sum_{i=1}^n \left(K_1+(i-1)\Delta K\right)= nK_1+\frac{n(n-1)}{2}\Delta K,\)
és (a forgatónyomatékokat az első felfüggesztési pontra vonatkoztatva)
$$\begin{align*} mgx=&\sum_{i=1}^n (i-1)\Delta x\,K_i=\sum_{i=1}^n \left((i-1)\Delta x\,K_1+(i-1)^2\Delta x\,\Delta K\right)=\\ =&\left(\frac{n(n-1)}{2} K_1+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\Delta K\right)\Delta x. \end{align*}$$Nyilván, a legnagyobb megengedhető súly esetén minden rugó a terhelhetősége határán van (ez az állapot meg is valósítható, mert a szakítóerők és a rugóerők is számtani sorozatot alkotnak), azaz
\(\displaystyle K_1=\Delta K= K.\)
Ebből
\(\displaystyle m=\frac{n(n+1)}{2}\frac{K}{g},\)
és
\(\displaystyle x=\frac{2(n-1)\Delta x}{3}=\frac{2L}{3},\)
ahol \(\displaystyle L=(n-1)\Delta x\) pont a két szélső felfüggesztési pont közötti távolság. Figyelemre méltó, hogy a maximális terhelésnél a súly egyedüli lehetséges pozíciója nem függ az \(\displaystyle n\)-től.
Statistics:
45 students sent a solution. 5 points: Boér Panna Rita, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Flóring Balázs, Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Szabó Donát, Tárnok Ede , Žigo Boglárka. 4 points: Hornok Máté, Kis Márton Tamás, Kovács Kristóf , Seprődi Barnabás Bendegúz, Sütő Áron. 3 points: 6 students. 2 points: 8 students. 1 point: 8 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, January 2024