Problem P. 5540. (January 2024)
P. 5540. Two glasses, which have the same size are filled with room-temperature tea, then one of them is placed into the refrigerator, and the other into the much colder freezer. After a minute elapsed, the glasses are swapped, and left in their new places for a further minute and then both are removed. The content of which glass will cool down more during the experiment? Newton's law of cooling can be applied to the relevant heat transfer processes, and the heat transfer coefficient can be considered to be the same for the refrigerator and the freezer.
(5 pont)
Deadline expired on February 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A Newton-féle lehűlési törvény értelmében egy test és környezete között időegységenként átadott hő csak a hőmérséklet-különbségüktől függ. A test kezdeti hőmérsékletét \(\displaystyle T_0\)-val, a környezetét \(\displaystyle T_\mathrm{k}\)-val jelölve, a hőátadási tényezőt, a test hőkapacitását és felületét pedig egy \(\displaystyle \lambda\) állandóba foglalva a test \(\displaystyle t\) időpontbeli hőmérséklete:
\(\displaystyle T(t)=T_\mathrm{k}+(T_0-T_\mathrm{k})\mathrm{e}^{-\lambda t}.\)
Ezt felhasználva kiszámíthatjuk a tea végső hőmérsékletét, miután azt \(\displaystyle \tau\) ideig a \(\displaystyle T_1\) hőmérsékletű hűtőben, majd újabb \(\displaystyle \tau\) ideig a \(\displaystyle T_2\) hőmérsékletű mélyhűtőben tartottuk:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle T_\mathrm{A}=T_2+\left[T_1+(T_0-T_1)\mathrm{e}^{-\lambda\tau}-T_2\right]\mathrm{e}^{-\lambda\tau}.\) |
Ha előbb tesszük a mélyhűtőbe, majd utána a hűtőbe, akkor a végső hőmérséklet a következőképp módosul:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T_\mathrm{B}=T_1+\left[T_2+(T_0-T_2)\mathrm{e}^{-\lambda\tau}-T_1\right]\mathrm{e}^{-\lambda\tau}.\) |
Az (1) és (2) egyenletekből a kétféle hőmérséklet különbsége kifejezhető:
\(\displaystyle T_\mathrm{A}-T_\mathrm{B}=(T_2-T_1)\left(1-2\mathrm{e}^{-\lambda\tau}+\mathrm{e}^{-2\lambda\tau}\right)=(T_2-T_1)\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda\tau}\right)^2.\)
Az első zárójelben álló kifejezés negatív, a teljes négyzet pedig nemnegatív, így \(\displaystyle T_\mathrm{B}>T_\mathrm{A}\). Következésképpen az a pohár hűl le jobban, amelyiket először a hűtőbe, majd a mélyhűtőbe helyeztük. Érdekesség, hogy az eredmény független mind a hőátadást jellemző \(\displaystyle \lambda\) paramétertől, mind a \(\displaystyle \tau\) időtartamtól, csupán annyi lényeges, hogy ezek a kétféle környezetre vonatkozóan azonosak legyenek.
Statistics:
54 students sent a solution. 5 points: Csapó András, Csernyik Péter, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fehérvári Donát, Hornok Máté, Klement Tamás, Masa Barnabás, Nguyen Kim Dorka, Pázmándi József Áron, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk. 4 points: Debreceni Dániel, Földes Márton, Saller Bálint , Szécsényi-Nagy Rudolf, Szilágyi Kitti. 3 points: 5 students. 2 points: 5 students. 1 point: 12 students. 0 point: 8 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, January 2024