Problem P. 5541. (January 2024)

P. 5541. \(\displaystyle ^{222}\text{Rn}\) is a member of the uranium-radium decay series: it is an alpha decaying isotope with a half-life of \(\displaystyle 3.8\) days.

\(\displaystyle a)\) If the radon nucleus in transition is assumed to be at rest, what is the speed of its daughter product?

\(\displaystyle b)\) What is the energy of the alpha particle produced in the decay in MeV?

Hint: See the isotopic masses at https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az alfa-bomlás során végbemenő magreakció:

\(\displaystyle ^{222}\mathrm{Rn}\,\rightarrow\,^{218}\mathrm{Po}+\!^{4}\mathrm{He}.\)

A tömeg-energia megmaradásának alapján kiszámíthatjuk a bomlási energiát:

\(\displaystyle m(^{222}\mathrm{Rn})c^2=\left(m(^{218}\mathrm{Po})+m(^{4}\mathrm{He})\right)c^2+E_\textrm{bomlási}.\)

Az izotópok tömegét a megadott táblázatból kikeressük:

\(\displaystyle m(^{222}\mathrm{Rn})=3{,}68669\cdot 10^{-25}\,\mathrm{kg},\)

\(\displaystyle m(^{218}\mathrm{Po})=3{,}62012\cdot 10^{-25}\,\mathrm{kg},\)

\(\displaystyle m(^{4}\mathrm{He})=6{,}64648\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}.\)

A bomlási energia értéke: \(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=9{,}0\cdot10^{-13}\,\mathrm{J}\). A bomlási energia megegyezik a leánytermék és az \(\displaystyle \alpha\)-részecske mozgási energiájának összegével:

\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\frac{1}{2}m(^{218}\mathrm{Po})v_\mathrm{Po}^2 + \frac{1}{2}m(^{4}\mathrm{He})v_\mathrm{He}^2.\)

Az átalakulásra érvényes az impulzusmegmaradás törvénye is. Mivel a kiinduló radonatom nyugvónak tekinthető, így a leányelem és az \(\displaystyle \alpha\)-részecske impulzusának nagysága megegyezik:

\(\displaystyle m(^{4}\mathrm{He})v_\mathrm{He}=m(^{218}\mathrm{Po})v_\mathrm{Po}.\)

Az egyenletrendezés után a polónium atommag sebességére az alábbi kifejezés adódik:

\(\displaystyle v_\mathrm{Po}=\sqrt\frac{2E_\textrm{bomlási}m(^{4}\mathrm{He})}{m(^{4}\mathrm{He})m(^{218}\mathrm{Po})+m(^{218}\mathrm{Po})^2}=3{,}0\cdot 10^5\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)

Az \(\displaystyle \alpha\)-részecske mozgási energiája:

\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}-\frac{1}{2}m(^{218}\mathrm{Po})v_\mathrm{Po}^2=8{,}8\cdot 10^{-13}\,\mathrm{J}=5{,}5\,\mathrm{MeV}.\)

Megjegyzés. A polónium atommag és az \(\displaystyle \alpha\)-részecske sebességére is nagyságrenddel kisebb érték jött ki, mint a fénysebesség, így jogos volt a klasszikus impulzus- és mozgási energia formulákat használni a számolás során.

A táblázat a semleges atomok tömegét tartalmazza, viszont a szétrepülő termékek sebességének meghatározásakor elvben a magtömegekkel kellene számolni. A gyakorlatban ezzel mégsem kell törődni: itt is az atomtömegeket használva legfeljebb néhány tízezrelék nagyságú relatív hibát követünk el.

Statistics:

32 students sent a solution.
4 points:	Bélteki Teó, Benes András, Bernhardt Dávid, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csernyik Péter, Dobos Anita, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Hornok Máté, Kissebesi Máté, Magyar Zsófia, Molnár Kristóf, Sipeki Árpád, Tárnok Ede , Zhang Wenshuo Steve.
3 points:	Klement Tamás.
2 points:	7 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, January 2024