Problem P. 5543. (January 2024)

P. 5543. In cloudy weather, measurements are taken with a light meter pointed towards the sky. We find that, due to the scattering of light by the clouds, the incident power per unit area is approximately \(\displaystyle I_0\), regardless of the orientation of the light meter. On top of an opaque thin-walled spherical shell of radius \(\displaystyle R\), there is a small hole of radius \(\displaystyle r\) (much larger than the wavelength of visible light). The inner side of the wall of the spherical shell is coated with soot. Give the intensity of illumination on the inner surface of the shell, which is placed in the open air.

(6 pont)

Deadline expired on February 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat szerint a felhős égboltról minden irányból azonos intenzitású szórt fény lép be a lyukon keresztül a gömbbe. Tekintsük a gömb belső felületének egy kicsiny, \(\displaystyle A\) területű darabkáját (\(\displaystyle A\ll\pi r^2\)), amely a lyuk helyzetéhez képest \(\displaystyle 180^\circ-2\alpha\) középponti szöggel (polárszöggel) jellemezhető! A kiszemelt felületdarabkára beeső fény intenzitása arányos azzal a térszöggel (egy gömb felületén mérhető terület és a sugár négyzetének hányadosával), amely alatt a \(\displaystyle \pi r^2\) területű lyuk (és azon keresztül a borús égbolt) a felületdarabka helyéről nézve látszik:

\(\displaystyle I_{\textrm{be}}\sim\frac{\pi r^2\cos\alpha}{(2R\cos\alpha)^2}=\frac{\pi r^2}{4R^2\cos\alpha}\,.\)

Ennyi lenne a felületdarabka megvilágításának intenzitása akkor, ha ez a fény merőlegesen esne be. Az ábra szerint azonban a kiszemelt felületdarab normálisa \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a beeső fény irányával, ezért a megvilágítás intenzitása is gyengébb (hiszen ugyanaz a beeső teljesítmény így nagyobb felületen oszlik el):

\(\displaystyle I_\textrm{megvilágítás}=I_\textrm{be}\cos\alpha\sim\frac{\pi r^2}{4R^2}\,.\)

Azt a meglepő eredményt kaptuk tehát, hogy a gömb belső felületének megvilágítása független az \(\displaystyle \alpha\) szögtől! Ezek szerint a lyukon belépő \(\displaystyle I_0 \pi r^2\) teljesítmény a gömb \(\displaystyle 4\pi R^2\) nagyságú belső felületén egyenletesen oszlik el, így a belső felület megvilágításának intenzitása

\(\displaystyle I_\textrm{megvilágítás}=\frac{I_0\pi r^2}{4\pi R^2}=I_0\frac{r^2}{4R^2}\,.\)

Statistics:

11 students sent a solution.
5 points:	Tóthpál-Demeter Márk.
4 points:	2 students.
3 points:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2024