Problem P. 5545. (February 2024)

P. 5545. There is a mixture of helium and hydrogen gas in a cylinder, sealed by an easily moveable piston. The mass of the mixture is \(\displaystyle 180~\text{g}\). At constant pressure. \(\displaystyle 156~\text{kJ}\) thermal energy is added to the gas. This causes the gas mixture to do \(\displaystyle 56~\text{kJ}\) of work. How many grams of hydrogen were in the cylinder? What is the temperature change of the gas mixture?

(4 pont)

Deadline expired on March 18, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Állandó nyomáson végbemenő folyamat során a gáz által végzett munka \(\displaystyle W=nR\Delta T\), a közölt hő mennyisége pedig \(\displaystyle Q=\frac{f+2}{2}nR\Delta T\), ahol \(\displaystyle \Delta T\) a hőmérséklet-változást, \(\displaystyle f\) a gázkeverék szabadsági fokszámát, \(\displaystyle n\) az anyagmennyiséget jelöli. A közölt hő és a végzett munka hányadosa:

\(\displaystyle \frac{Q}{W}=\frac{f+2}{2}=\frac{156\,\mathrm{kJ}}{56\,\mathrm{kJ}}=2{,}79,\)

amelyből adódik, hogy \(\displaystyle f=3{,}57\).

Jelölje \(\displaystyle n_\mathrm{H}\) a hidrogén, \(\displaystyle n_\mathrm{He}\) a hélium anyagmennyiségét. A gázkeverék teljes tömegére felírt egyenletünk:

\(\displaystyle n_\mathrm{H}\cdot 2\,\mathrm{\frac{g}{mol}}+n_\mathrm{He}\cdot 4\,\mathrm{\frac{g}{mol}}=180\,\mathrm{g}.\)

A hidrogén kétatomos, amíg a hélium egyatomos gáz, így a gázkeverék szabadsági fokszámára az alábbi egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle 5\cdot n_\mathrm{H}+3\cdot n_\mathrm{He}=3{,}57\cdot(n_\mathrm{H}+n_\mathrm{He}).\)

Ennek a lineáris kétismeretlenes egyenletrendszernek a megoldása: \(\displaystyle n_\mathrm{H}=15\,\mathrm{mol}\) és \(\displaystyle n_\mathrm{He}=37{,}5\,\mathrm{mol}\).

A hengerben található hidrogén tömege 30 g. A gázkeverék hőmérséklet-változása pedig:

\(\displaystyle \Delta T=\frac{W}{(n_\mathrm{H}+n_\mathrm{He})R}=\frac{56000\,\mathrm{J}}{52{,}5\,\mathrm{mol}\cdot 8{,}314\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}}}=128{,}3\,\mathrm{K}.\)

Statistics:

52 students sent a solution.
4 points:	Barna Márton, Beke Botond, Bélteki Teó, Bunford Luca, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Éger Viktória, Éliás Kristóf , Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Hornok Máté, Kissebesi Máté, Klement Tamás, Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Medgyesi Júlia, Molnár Kristóf, Nguyen Kim Dorka, Simon János Dániel, Sütő Áron, Süveg Janka Villő, Szabó Donát, Tárnok Ede , Vágó Botond, Žigo Boglárka, Zólomy Csanád Zsolt.
3 points:	Bogdán Benedek, Csernyik Péter, Hoós János, Kovács Kristóf , Pázmándi József Áron, Pituk Péter.
2 points:	5 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, February 2024