Problem P. 5551. (February 2024)

P. 5551. An electron-positron pair is produced from a photon of energy \(\displaystyle 2~\text{MeV}\), when it passes next to a nucleus, which has a high atomic number. (The heavy nucleus gains only momentum, and absorbs almost no energy.) In the Wilson chamber, placed into magnetic field, both particles travel in the same plane, along circular arcs of radius \(\displaystyle 5~\text{cm}\). What is the magnitude of the magnetic induction vector?

(5 pont)

Deadline expired on March 18, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az elektron és a pozitron (relativisztikus) energiája megegyezik, hiszen ugyanakkora sugarú körpályán mozognak a Wilson-kamrában. Ez az energia az energiamegmaradás törvénye szerint:

\(\displaystyle E=\frac{1}{2}\cdot 2\,\mathrm{MeV}=1\,\mathrm{MeV}.\)

Számítsuk ki az elektron és a pozitron relativisztikus impulzusának \(\displaystyle p\) nagyságát. Az energia, az impulzus és az \(\displaystyle m=0{,}511\,\mathrm{MeV}/c^2\) nyugalmi tömeg közötti összefüggés:

\(\displaystyle E^2-(pc)^2=(mc^2)^2,\)

ahonnan

\(\displaystyle pc=\sqrt{E^2-(mc^2)^2}=\sqrt{1-0{,}511^2}=0{,}859\,\mathrm{MeV}.\)

Az elektron (és a pozitron) relativisztikus mozgásegyenlete:

\(\displaystyle \vert\boldsymbol{F}\vert=\left\vert\frac{\Delta\boldsymbol{p}}{\Delta t}\right\vert=\vert\boldsymbol{p}\vert\omega=\vert\boldsymbol{p}\vert\frac{v}{R}=Bev,\)

ahol \(\displaystyle B\) az indukcióvektor nagysága, \(\displaystyle v\) a részecske sebessége, \(\displaystyle \omega\) a körmozgás körfrekvenciája, \(\displaystyle R\) pedig a pályasugár a Wilson-kamrában. Innen az indukcióvektor keresett nagysága:

\(\displaystyle B=\frac{p}{eR}\approx\frac{0{,}86\cdot 10^6\,\mathrm{V}}{(0{,}05\,\mathrm{m})(3\cdot 10^8\,\mathrm{m/s})}\approx 0{,}057\,\mathrm{T}.\)

Statistics:

31 students sent a solution.
5 points:	Bencz Benedek, Csóka Péter, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Simon János Dániel, Sütő Áron.
4 points:	Csapó András, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Magyar Zsófia, Szabó Donát, Tárnok Ede , Vágó Botond.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
0 point:	9 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2024