Problem P. 5554. (March 2024)

P. 5554. A glass of base area \(\displaystyle 20~\text{cm}^2\) contains \(\displaystyle 120~\text{g}\) water at a temperature of \(\displaystyle 25~^\circ\text{C}\). Put in an ice cube which has a temperature of \(\displaystyle 0~^\circ\text{C}\). When the ice cube melts completely, the water cools down to exactly \(\displaystyle 0~^\circ\text{C}\). The water equivalent of the glass is \(\displaystyle 40~\text{g}\), i.e. the heat capacity of the glass is equal to that of a sample of \(\displaystyle 40~\text{g}\) water. Ignore other heat losses and the thermal expansion of the glass, but consider the temperature dependence of the density of water.

\(\displaystyle a)\) What was the mass of the ice cube?

\(\displaystyle b)\) How much does the level of the water in the glass change during the melting process of the ice?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A hőveszteségektől eltekintünk, így az \(\displaystyle m\) tömegű jég megolvasztásához szükséges hő megegyezik a pohár és a víz lehűlése közben felszabaduló hővel:

\(\displaystyle L_\mathrm{o}\cdot m+c_\mathrm{v}\cdot(m_\textrm{víz}+m_\textrm{pohár})\cdot\Delta T=0,\)

ahol \(\displaystyle L_\mathrm{o}\) a jég olvadáshője, \(\displaystyle c_\mathrm{v}\) a víz fajhője, \(\displaystyle m_\textrm{pohár}\) a pohár vízértéke, \(\displaystyle \Delta T=-25\,^\circ\mathrm{C}\) a hőmérséklet-változás. Innen a jég tömege:

\(\displaystyle m=-\frac{c_\mathrm{v}\cdot(m_\textrm{víz}+m_\textrm{pohár})\cdot\Delta T}{L_\mathrm{o}}=-\frac{4{,}2\mathrm{\tfrac{J}{g\cdot K}}\cdot\left(120\,\mathrm{g}+40\,\mathrm{g}\right)\cdot(-25\,K)}{334\,\mathrm{\tfrac{J}{g}}}=50{,}3\,\mathrm{g}.\)

\(\displaystyle b)\) Kezdetben a pohár vízben úszik egy jégdarab. A jégdarab pontosan a súlyával megegyező súlyú \(\displaystyle 25\,^\circ\mathrm{C}\)-os vizet szorít ki, így kezdetben a víz magassága:

\(\displaystyle h_0=\frac{m_\textrm{víz}+m}{\varrho_{25}\cdot A},\)

ahol \(\displaystyle A\) a pohár alapterülete, \(\displaystyle \varrho_{25}\) a \(\displaystyle 25\,^\circ\mathrm{C}\)-os víz sűrűsége. Miután elolvad a jég, a víz magassága \(\displaystyle h=\frac{m_\textrm{víz}+m}{\varrho_{0}\cdot A}\), ahol \(\displaystyle \varrho_{0}\) a \(\displaystyle 0\,^\circ\mathrm{C}\)-os víz sűrűsége. A vízmagasság megváltozása:

\(\displaystyle \Delta h=h-h_0=\frac{m_\textrm{víz}+m}{A}\left(\frac{1}{\varrho_{0}}-\frac{1}{\varrho_{25}}\right)=\frac{170{,}3\,\mathrm{g}}{20\,\mathrm{cm}^2}\left(\frac{1}{0{,}9998}\,\mathrm{\frac{cm^3}{g}}-\frac{1}{0{,}9970}\,\mathrm{\frac{cm^3}{g}}\right)=-0{,}024\,\mathrm{cm}=-0{,}24\,\mathrm{mm}.\)

A vízszint tehát kb. 1/4 mm-rel lecsökkent. (Ha a víz sűrűségének megváltozását nem vettük volna figyelembe, akkor a vízszint magassága nem változott volna meg.)

Statistics:

62 students sent a solution.
4 points:	Balogh Krisztián, Csernyik Péter, Csiszár András, Dobos Anita, Hegedüs Márk, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Simon János Dániel, Szabó Donát.
3 points:	Beke Botond, Bélteki Teó, Dancsák Dénes, Erős Fanni, Fehérvári Donát, Földes Márton, Kissebesi Máté, Kovács Kristóf , Magyar Zsófia, Masa Barnabás, Saller Bálint , Sütő Áron, Szécsényi-Nagy Rudolf, Zólomy Csanád Zsolt.
2 points:	16 students.
1 point:	9 students.
0 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2024