Problem P. 5555. (March 2024)
P. 5555. A disc of radius \(\displaystyle r\) rests on a horizontal, not perfectly smooth tabletop. A larger disc of radius \(\displaystyle R=2r\) slides without rotation along the plane of the tabletop so that its centre moves along a tangent of the small disc. Both discs are made of the same material and have the same height. After the collision, which is considered to be elastic, the large disc slows down due to friction and stops after travelling \(\displaystyle d=5~\text{cm}\). In what direction and how far does the small disc travel on the table? Friction between the discs is negligible.
(4 pont)
Deadline expired on April 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az ütközés nagyon rövid ideje alatt a külső erők (az asztallap és a korongok közötti súrlódás) hatása figyelmen kívül hagyható, vagyis a két korongból álló rendszer zártnak tekinthető. Az ütközés során a teljes mozgásmennyiség (impulzus) vektora állandó marad. Az ütközés rugalmas, így a korongok összes mozgási energiája sem változik meg. A korongok közötti súrlódás elhanyagolható, emiatt a korongok nem jöhetnek forgásba, vagyis a mozgási energia tisztán a transzlációs mozgásból származik.
Jelöljük a nagyobb korong ütközés előtti sebességvektorát \(\displaystyle \boldsymbol{v}_0\)-lal. Ha a kis korong tömege \(\displaystyle m\), akkor a megadott feltételek miatt a nagyobb korong tömege nyilván \(\displaystyle 4m\) lesz. Az ütközés pillanatában (lásd az 1. ábrát) a korongok \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) középpontjára illeszkedő egyenesnek a nagyobb korong kezdeti mozgásirányával bezárt szöge:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \varphi=\arcsin\frac{r}{R+r}=\arcsin\frac{1}{3}=19{,}5^\circ.\) |
1. ábra
Az ütközés során a két korong között egy nagyon rövid ideig tartó, nagyon nagy \(\displaystyle \boldsymbol{F}(t)\) erő lép fel, ami a kezdetben álló kis korongot \(\displaystyle P\rightarrow Q\) irányba valamekkora \(\displaystyle \boldsymbol{u}\) sebességgel meglöki. Eközben a nagy korong sebessége \(\displaystyle \boldsymbol{v}\)-re változik (2. ábra). A kis korong az ütközés előtt állt, így \(\displaystyle \boldsymbol{u}\) iránya nyilván megegyezik \(\displaystyle \boldsymbol{F}\) irányával.
2. ábra
Az ábrán látható koordináta-rendszerben az impulzusmegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle 4mv_0=4mv_x+mu\cos\varphi,\)
\(\displaystyle 0=4mv_y-mu\sin\varphi,\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v_x=v_0-\frac{u\cos\varphi}{4},\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v_y=-\frac{u\sin\varphi}{4}.\) |
Az energiamegmaradás törvényét alkalmazva felírhatjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}(4m)v_0^2=\frac{1}{2}(4m)\left(v_x^2+v_y^2\right)+\frac{1}{2}mu^2.\) |
(2)-t és (3)-t (4)-be helyettesítve az \(\displaystyle u\) sebességnagyságra egy hiányos másodfokú egyenletet kapunk, aminek az egyik (számunkra érdektelen) megoldása \(\displaystyle u=0\), a másik gyöke pedig
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle u=\frac{8}{5}v_0\cos\varphi=1{,}51\,v_0.\) |
(2), (3) és (5) felhasználásával a korongok sebességkomponensei:
\(\displaystyle u_x=u\cos\varphi=1{,}42\,v_0,\)
\(\displaystyle u_y=-u\sin\varphi=-0{,}50\,v_0,\)
\(\displaystyle v_x=0{,}64\,v_0,\)
\(\displaystyle v_y=0{,}13\,v_0.\)
Az ütközés után a nagy korong sebességnagyságának négyzete:
\(\displaystyle v^2=v_x^2+v_y^2=0{,}43\,v_0^2,\)
a kis korongé pedig
\(\displaystyle u^2=u_x^2+u_y^2=2{,}28\,v_0^2.\)
Az asztallapon csúszó korongok az asztallal való súrlódásuk miatt ugyanolyan ütemben egyenletesen lassulva mozognak, a megállásukig megtett útjuk a kezdősebességük négyzetével arányos. Ennek megfelelően a kisebb korong
\(\displaystyle d=\frac{u^2}{v^2}\cdot \text{5 cm}=26{,}5\,\mathrm{cm}\)
út megtétele után áll meg.
A nagy korong az eredeti mozgásirányához képes
\(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{v_y}{v_x}=11{,}1^\circ\)
szögben ,,balra'' térül el, a kis korong elmozdulásának iránya pedig ,,jobbra''
\(\displaystyle \beta=\arctg\frac{\vert u_y\vert}{u_x}=\varphi=19{,}5^\circ\)
a nagyobb korong kezdeti mozgásirányához viszonyítva.
Statistics:
30 students sent a solution. 4 points: Bélteki Teó, Csapó András, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Gyerő Soma, Hegedüs Márk, Szabó Donát, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Magyar Zsófia, Sütő Áron, Vágó Botond. 2 points: 1 student. 1 point: 6 students. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2024