Problem P. 5556. (March 2024)

P. 5556. On a planet of a distant binary star intelligent creatures are living. Their astronomers have found that the distance between the two stars is constant in time, so they have chosen this distance as the ``astronomical unit'' (AU). Their space scientists have launched a sensitive space telescope to the Lagrangian point of the binary system \(\displaystyle \text{L}_2\), which is located at a distance of \(\displaystyle \tfrac{1}{2}~\text{AU}\) from the lower-mass star, on the opposite side from the other star. What is the ratio of the masses of the two stars?

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a nagyobb csillag tömege \(\displaystyle M\), a kisebbé \(\displaystyle m\) és a közöttük lévő távolság \(\displaystyle R\), a keringési szögsebességük pedig \(\displaystyle \omega\). A két csillag tömegközéppontja a kisebb tömegű csillagtól \(\displaystyle \frac{M}{M+m}R\), a nagyobbtól \(\displaystyle \frac{m}{M+m}R\) távolságra van.

Newton II. törvénye és a gravitáció törvénye szerint mindkét csillag körmozgásának egyenlete:

\(\displaystyle \gamma\frac{mM}{R^2}=\frac{mM}{M+m}R\omega^2,\)

vagyis

\(\displaystyle \omega^2=\gamma\frac{m+M}{R^3}.\)

Az L\(\displaystyle _2\) pontba eljuttatott \(\displaystyle m_0\) tömegű űrtávcső ugyancsak \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel mozog a csillagok tömegközéppontja körül, így a mozgásegyenlete:

\(\displaystyle \gamma\frac{mm_0}{(R/2)^2}+\gamma\frac{Mm_0}{(3R/2)^2}=m_0\left(\frac{1}{2}+\frac{M}{M+m}\right)R\omega^2.\)

Behelyettesítve \(\displaystyle \omega^2\) kiszámított értékét kapjuk, hogy

\(\displaystyle 4m+\frac{4}{9}M=\left(\frac{1}{2}+\frac{M}{M+m}\right)(M+m),\)

ahonnan a keresett tömegarány:

\(\displaystyle \frac{M}{m}=\frac{63}{19}\approx 3{,}32.\)

Statistics:

53 students sent a solution.
5 points:	Barna Márton, Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Csapó András, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Gerendás Roland, Gyenes Károly, Hegedüs Márk, Hornok Máté, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Kristóf , Masa Barnabás, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon János Dániel, Szabó Donát, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Tóthpál-Demeter Márk, Zólomy Csanád Zsolt.
4 points:	Klement Tamás, Vágó Botond.
3 points:	1 student.
2 points:	2 students.
1 point:	5 students.
0 point:	13 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2024