Problem P. 5558. (March 2024)

P. 5558. The radius of the three-quarter circle in the figure is \(\displaystyle R\), the length of the sides of the incomplete square is \(\displaystyle a\). A current of magnitude \(\displaystyle I\) flows in the closed conducting circuit. Find the value of the magnetic induction vector at the centre \(\displaystyle O\) of the circle.

Hint: The value of the magnetic induction at the centre of a square shaped conducting frame of side \(\displaystyle \ell\), through which current \(\displaystyle I\) flows is: \(\displaystyle B=\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi\ell}\).

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az eredő \(\displaystyle \boldsymbol{B}\) mágneses indukció a háromnegyed kör \(\displaystyle \boldsymbol{B}_1\) és a hiányos négyzet \(\displaystyle \boldsymbol{B}_2\) járulékának összege. Mindkét vektor az ábra síkjára merőleges és abból kifelé mutat, így az eredő mágneses indukció nagysága: \(\displaystyle B=B_1+B_2\).

A hiányos négyzet azon oldalai, amelyek meghosszabbítása áthalad \(\displaystyle O\)-n, a Biot–Savart-törvény szerint nem járulnak hozzá a mágneses indukció \(\displaystyle O\) pontbeli értékéhez.

Ismert, hogy egy \(\displaystyle R\) sugarú körvezető középpontjában a mágneses indukcióvektor nagysága \(\displaystyle \frac{\mu_0I}{2R}\). Ezek szerint a háromnegyed kör mentén folyó, \(\displaystyle I\) erősségű áram a kör középpontjában \(\displaystyle B_1=\frac{3\mu_0I}{8R}\) nagyságú mágneses indukciót hoz létre.

Tekintsünk egy \(\displaystyle \ell=2a\) oldalélű négyzetet, amely oldalai mentén \(\displaystyle I\) erősségű áram folyik. A mágneses indukcióvektor nagysága a négyzet \(\displaystyle O\) középpontjában \(\displaystyle B_0=\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{2\pi a}\). A feladatunkban szereplő két oldalél a teljes négyzetnek csak az egynegyede, így a járulékuk:

\(\displaystyle B_2=\frac{B_0}{4}=\frac{\sqrt{2}\mu_0I}{4\pi a}.\)

A teljes mágneses indukcióvektor nagysága ezek szerint

\(\displaystyle B=\mu_0I\left(\frac{3}{8R}+ \frac{\sqrt{2}}{4\pi a}\right).\)

Statistics:

25 students sent a solution.
4 points:	Barna Márton, Bencze Mátyás, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Dobos Anita, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Gyenes Károly, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát.
3 points:	Bélteki Teó, Csapó András, Erős Fanni, Gyerő Soma, Kátai Ferdinánd, Masa Barnabás, Molnár Kristóf.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, March 2024