Problem P. 5559. (March 2024)
P. 5559. A concave and a convex spherical mirror with small aperture (with respect to the radius) and of radius \(\displaystyle R\) are placed at a distance of \(\displaystyle 1.25R\) from each other as shown in the figure.
At which point \(\displaystyle T\) on the common principal axis should a point source of light be placed so that the light rays emitted from it pass through the point \(\displaystyle T\) after reflection in the two mirrors?
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyszerű gömbtükrök fókusztávolsága \(\displaystyle f=\pm R/2\), így az adott elrendezésben a két eszköz távolsága éppen \(\displaystyle D=2{,}5f\). Legyen a \(\displaystyle T\) pont távolsága a homorú tükörtől \(\displaystyle t\)! A \(\displaystyle T\) pontról a homorú tükörtől
\(\displaystyle k=\frac{tf}{t-f}\)
távolságra keletkezne kép, de ez csak a domború tükör mögött lehetne (másképp a domború tükrön való visszaverődés után nem találkozhatnának a fénysugarak). Ez a kép tehát virtuális tárgyat jelent a domború tükör számára, amely a tükör mögött \(\displaystyle t_v=k-D\) távolságra van. Erről a domború tükör előtt \(\displaystyle D-t\) távolságra keletkezik egy valódi kép, tehát
\(\displaystyle -\frac{1}{f}=\frac{1}{D-t}-\frac{1}{k-D}.\)
A két egyenletből \(\displaystyle k\) kiküszöbölésével a
\(\displaystyle t^2-t(2f+D)+f(2f+D)=0\)
másodfokú egyenletet kapjuk, aminek a gyökei
\(\displaystyle t=\frac{(2f+D)\pm\sqrt{D^2-(2f)^2}}{2}.\)
Ezek közül a negatív előjelet tartalmazó kisebb, míg a másik nagyobb mint \(\displaystyle D\), tehát a keresett érték
\(\displaystyle t=\frac{(2f+D)-\sqrt{D^2-(2f)^2}}{2}=\frac{3}{2}f=\frac{3}{4}R.\)
Megjegyzések. 1. A fenti leírás a \(\displaystyle T\) pontból a homorú tükör felé induló kicsiny nyílásszögű sugárnyalábot követte, de nyilván ugyanezt kapjuk, ha a domború tükör felé induló sugarakat nézzük: azok ugyanezt az utat futják be, csak ellenkező irányban.
2. A gyökök és együtthatók összefüggése alapján a másodfokú egyenlet két gyökére igaz, hogy
\(\displaystyle t_1+t_2=2f+D\qquad\textrm{és}\qquad t_1\cdot t_2=f(2f+D).\)
A két egyenletet elosztva egymással azt találjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{1}{f}.\)
Ha tehát mondjuk \(\displaystyle t_1=t\), akkor \(\displaystyle t_2=k\).
Statistics:
24 students sent a solution. 5 points: Csapó András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Debreceni Dániel, Dobos Anita, Fehérvári Donát, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Hegedüs Márk, Klement Tamás, Molnár Kristóf, Szabó Donát, Tóthpál-Demeter Márk, Žigo Boglárka. 3 points: 1 student. 2 points: 4 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2024