Problem P. 5560. (March 2024)

P. 5560. On an unknown planet a medium-wave radio station, operating at \(\displaystyle 500~\text{kHz}\), transmits a hum at a frequency of \(\displaystyle 314~\text{Hz}\) in AM modulation. (This frequency has a calming effect on the intelligent creatures of the planet.) A sensitive radio in a spacecraft moving away from the planet at 80% of the speed of light just detects this transmission.

\(\displaystyle a)\) What frequency should the radio receiver be set to?

\(\displaystyle b)\) At what frequency will the astronauts hear the hum?

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során az alábbi jelölést használjuk: a bolygón élők vonatkoztatási rendszerében mért mennyiségeket \(\displaystyle b\) indexszel látjuk el. A \(\displaystyle v\) sebességgel haladó űrhajón lévő asztronauták vonatkoztatási rendszerében mért mennyiségeket pedig \(\displaystyle a\) indexszel jelöljük.

Tekintsünk egy \(\displaystyle T_b\) periódusidejű elektromágneses hullámot, melynek periódusidejét az űrhajón \(\displaystyle T_a\)-nak mérik. Célunk kapcsolatot teremteni ezen két mennyiség között. Vizsgáljuk azt a két eseményt, amikor az űrhajón észlelik az elektromágneses hullám két egymás utáni amplitúdó maximumát. Ezen két esemény távolságkülönbsége nulla, időkülönbsége pedig \(\displaystyle T_a\) az űrhajó vonatkoztatási rendszerében. Ugyanezen két esemény időkülönbsége \(\displaystyle t_b\), a távolságkülönbsége pedig \(\displaystyle vt_b\) a bolygó vonatkoztatási rendszerében.

A relativitáselméletben két esemény közti \(\displaystyle \Delta t\) időkülönbségből és \(\displaystyle \Delta x\) távolságkülönbségből képzett \(\displaystyle c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2\) mennyiség invariáns, azaz értéke nem függ a vonatkoztatási rendszer választásától. Az invariánst felhasználva:

\(\displaystyle c^2T_a^2=c^2t_b^2-v^2t_b^2.\)

A bolygóról nézve az elektromágneses hullám \(\displaystyle (c-v)\) relatív sebességgel halad az űrhajó irányába. A két szomszédos amplitúdómaximum közti távolság (azaz a hullámhossz) \(\displaystyle cT_b\), melyet ezzel a relatív sebességgel \(\displaystyle t_b=\frac{cT_b}{c-v}\) idő alatt tesz meg a hullám. Helyettesítsük be ezt a kifejezést az invariánsból kapott összefüggésbe:

\(\displaystyle T_a=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}T_b.\)

Az egyenlet reciprokát képezve a frekvenciák közti kapcsolatot tudjuk felírni:

\(\displaystyle f_a=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}f_b.\)

Ezzel levezettük az ún. relativisztikus Doppler-képletet, melyet nyomtatott vagy online forrásokban is könnyen megtalálhatunk (pl. Budó: Kísérleti fizika III. kötet, 310. old.). A kifejezésben \(\displaystyle v\) az elektromágneses forrás és a megfigyelő relatív sebessége (ez független a koordináta-rendszer választásától). Ha a forrás és a megfigyelő távolodik egymástól, akkor \(\displaystyle v\) pozitív, közeledés esetén pedig \(\displaystyle v\) negatív értékű.

Ugyanazt a relativisztikus Doppler-képletet használhatjuk a feladatban szereplő rádióhullám vivőfrekvenciájára illetve modulációs frekvenciájára is. Így az űrhajósoknak a rádió vevőjét \(\displaystyle \sqrt{\frac{1-0{,}8}{1+0{,}8}}500\,\mathrm{kHz}=167 \,\mathrm{kHz}\)-es frekvenciára kell állítaniuk. A búgást pedig \(\displaystyle \sqrt{\frac{1-0{,}8}{1+0{,}8}}314\,\mathrm{Hz}=105 \,\mathrm{Hz}\) frekvenciájúnak hallják.

Statistics:

30 students sent a solution.
5 points:	Czirják Márton Pál, Pázmándi József Áron, Tóth Hanga Katalin, Zámbó Luca.
4 points:	Csapó András, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Klement Tamás, Tóth Kolos Barnabás.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	8 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2024